- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
1. Необходимость
Пусть f(x) е Ri[a, b]. Множество точек разрыва A = ^ A1 .
n=1 n
По теореме 1 mesA1 = 0 ^ mes* A1 = 0 . Значит, каждое
nn
множество A1 можно покрыть системой включающих отрезков
n
e
общей длины —, "e > 0. Тогда все множество A покрывается
не
более чем счетной системой отрезков
общей длиной ¥
e
—
=
e.
Это означает, что
mA
<
e
"e
>
0 ^
mA
=
0.
n
n=1 z угодно малой общей длиной. Значит, mes*A1 = 0, тогда A1
nn
измеримы по Жордану и mesA1 = 0 . Тогда и mesAg = 0 "g > 0.
n
В силу теоремы 1 f(x) е Ri[a, b]. Теорема доказана.
Перейдем к простому обобщению интеграла Римана.
§ 2. Интеграл Стилтьеса
Т. Стилтьес (1854-1894) - голландский математик.
Пусть f (x) и g(x) ограничены на отрезке [ a; b]. Выполним
(T) -разбиение [ a; b]. Обозначим Dgk = g(xk+1) - g(xk).
Выберем ck е[ xk; xk+1 ]. Составим интегральную сумму
Стилтьеса:
n-1
(T) = ^ f(ck)Dgk.
k=0
Если при l(T) 1 03^1^01 Q Ss(T) = I5, то число I5 называется
интегралом Стилтьеса от функции f(x) по функции g(x) на
b
отрезке [ a; b]. Запись: Is = (S)J f(x)dg(x).
a
Аналогично интегралу Римана вводятся суммы Дарбу-Стилтьеса и интегралы Дарбу-Стилтьеса. Интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса при g( x) = x.
Свойства интеграла Стилтьеса:
b
10. (S) j dg(x) = g(b) - g(a) .
a
20. (5)J(f(x) ± j(x))dg(x) = (S) J f (x)dg(x) ± (S) j(x)dg(x).
a a a
b b b
30. (S)J f(x)d(gi(x) ± g2(x)) = (S)J f(x)dgi(x) ± (S)J f(x)d^(x).
a a a
bb
40. (S)jW(x)dg(x) = a(S)J f(x)dg(x).
aa bb
50. (S)J f(x)d(bg(x)) = b(S)J f(x)dg(x).
aa
b
60.
g(x)
°
ccwsf на
отрезке [ a;
b]
^
(S)J
f(x)
fg(x)
=
0.
a
b
b
c
70. a < c < b ^ (S)J f(x)dg(x) = (S)J f (x)dg(x) + (S)J f (x)dg(x).
a a c
80. Если maX f(x) \ = M(f), g(x)- ФОВ на отрезке [ a; b], то
a<x<b
b
(S)J f(x)dg(x)
a
Доказательства аналогичны интегралу Римана и получаются легко из рассмотрения соответствующих интегральных сумм.
Рассмотрим проблемы существования и вычисления интеграла Стилтьеса.
Теорема 1
Если f(x) непрерывна на отрезке [ a; b ], а g(x) есть ФОВ
b
на отрезке [ a; b], то (S)J f(x)dg(x) существует.
a
Доказательство
b
<
M(f)V(g).
)
возрастает на отрезке [ a; b]. Выполним (T) - разбиение [ a; b]. mk и mk имеют тот же смысл, что и для интеграла Римана. Составим нижнюю и верхнюю интегральные суммы
n—1 _ n—1
Дарбу-Стилтьеса. S(T) = £ mkAgk, S (T) = £ mkAgk. Они
к=0 к=0
имеют свойства, аналогичные свойствам сумм Дарбу для
интеграла Римана. Обозначим I = sup{S(T)}.
т
Поскольку
S(T)
<
I
<
S(T)
и
S(T)
<
S(T)
<
S(T),
то
|
S(T)
—
I|
<
S(T)
—
S(T).
В силу равномерной непрерывности f(x)
на
отрезке [ a;
b],
для
"f
>
038
>
0 : |
x**
—
x*
|
<
8
^
^
I
f
(x**)
—
f(
x*)
<
f.
Следовательно, при l(T) <8 будет wk = mk — mk < f. Значит, S(T) — S(T) < f(g(b) — g(a)).
Получаем: |S(T) — I| < f(g(b) — g(a)); это означает, что
b
3 Ji® S(T) = I, т. е. I = (S) j f(x)dg(x).
a
Теорема доказана. Теорема 2
Если f( x) непрерывна на отрезке [ a; b ], g( x)
дифференцируема на отрезке [ a; b], а g'(x) интегрируема по
Риману, то интеграл Стилтьеса существует, причем bb (S)j f(x)dg(x) = (R)j f(x)g(x)dx.
aa
Доказательство
В силу интегрируемости g (x) она ограничена на отрезке
[ a; b ]. Следовательно, g(x) есть функция с условием Липшица,
а значит, есть ФОВ. f( x) g( x) на отрезке [ a; b ] почти всюду
непрерывна. Следовательно, оба интеграла существуют. Покажем, что они равны.
Для произвольного (T) - разбиения [ a; b] к
Dgk = g(xk+1) - g(xk) применим формулу Лагранжа:
Dgk = g'( x*)Dxk, xk < x* < xk+1.
Поскольку интегралы существуют, то можно брать ck произвольно из [ xk; xk+1 ]. Положим ck = x*.
n-1 n-1
Тогда Ss (T) = Z f( XDAgk = Z f( g'( X*)Dxk = (T) для
k=0 k=0
функции j(x) = f (x)g'(x). Переходя к пределу l(T) ® 0, получаем требуемое равенство. Теорема доказана.
Эта теорема дает возможность во многих случаях сводить вычисления интеграла Стилтьеса к вычислению интеграла Римана. Нередко встречается специальный случай для g(x) .
Теорема 3
Пусть f(x) непрерывна на отрезке [ a; b], а g(x) - ступенчатая (кусочно-постоянная) с точками перехода a < q < c2 < ... < cm < b. Тогда
b
(S) j f(x)dg(x) = f (a)(g(a + 0) - g(a)) +
a
m
+Z f (ck) (g(ck + 0) - g(ck - 0)) + f (b)(g(b) - g(b - 0)).
k=1
Эта формула устанавливается непосредственным рассмотрением Ss (T).
В некоторых случаях целесообразно поменять местами f(x) и g( x).
Теорема 4 (интегрирование по частям)
b b (S)J f(x)dg(x) = f(x)g(x)|a- (S)Jg(x)df(x).
a a
Доказательство
b
Пусть существует (S)J f(x)dg(x).
a
Рассмотрим интегральную сумму:
n-1
Ss(T) = Г f (Ck)(g(xk+1) - g(xk)) =
k=0
n-1 n-1
= Z f(Ck)g(xk+1) - Z f(Ck)g(xk) .
k=0 k=0
Отсюда
n-1
S (T ) = -Z g (xk)( f ( Ck )-f ( Ck -1 )) +
k=0
+ f ( Cn-1 ) g ( xn )- f ( C0 ) g ( x0 ) .
Прибавим и вычтем в правой части f(x)g(x)|a = g(b) f (b) - g(a) f (a). Тогда
b n-1
S(T) = f (x)g(x)| - (g(a)( f (C0) - f (a)) + Z g(xk)( f(Ck) -
a k=1
- f (Ck-1)) + g(b)( f (b) - f (Cn-1))).
b
Это интегральная сумма для J g(x)df(x) с (T1) - разбиением
a
a < C0 < C < .. < Cn-1 < b.
Точки a,x1,..., xn-1, b входят в соответствующие частичные сегменты. Если Axk ® 0, то и ACk ® 0. Переходя к пределу, получаем требуемое равенство. Теорема доказана
.
В заключение рассмотрим предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.
Теорема 5
Пусть fn(x)® f0(x) на отрезке [a;b], fn(x) непрерывны на
отрезке [ a; b], g(x) - ФОВ на отрезке [ a; b]. Тогда b b jim(S)J fn(x)dg(x) = (S)J f(x)dg(x).
a a
Доказательство
Обозначим Mn = max I fn (x) - f0(x)|. По 80
b
<
Mn
V(
g). Поскольку
a
(S)J fn(x)dg(x) - (S)J ax)dg(x)
a
Mn ® 0, при n ® ¥, то имеем требуемое соотношение. Теорема доказана.
Теорема 6 (Э. Хелли, E. Helli)
Пусть f (x) непрерывна на отрезке [ a; b], gn (x) ® g(x),
b
V( gn) < V <+¥ "n e N.
a
bb Тогда n®m(S)J f(x)dgn(x) = (S)J f(x)dg(x).
aa
Доказательство
b
Вначале покажем, что V(g) < V. Выполним (T)-разбиение
a
m-1
[ a; b] и рассмотрим gn(Xk+i) - gn(xk^ < V. Переходя к
k =0
m-1
пределу при n ® ¥, имеем: gn(xk+1) - gn(xk) < V. Значит,
k=
0
g(x)-ФОВ на отрезке [ a; b]. Далее "e > 0. Выполним такое
e
(T)
-разбиение
[ a;
b],
что на каждом [xk;
xk+1]
wk
(
f)
<
— ■ Рассмотрим
b m-1 xk +1
(S) j f(x)dg(x) = Z(S) j f (x)dg(x) =
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2
КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3
а\в 15
( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23
2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37
Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37
склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38
3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38
. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77
х = щ, k = 1,2,...,n 101
(L) J [ f\dx = 0 ^ [ L ]J f (x)dx = 0. 201
^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 215
= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 245
[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 264
e
3
V
xke
xk+1
£
g).
xt+1
(S) j (f(x) - f(xk))dg(x)
Складывая такие выражения, получаем, что первое
e b e
слагаемое в (*) по модулю не превышает — V(g) . Тогда
3 V a 3
b m-1 ge
a
k=0 b
Аналогично (S)j f(x)dgn(X) = Z f(xk)(gn(xk+1) - g(Xk)) + gne,
a k=0 3
где | g„ I £ 1.
m-1
m-1<
—. Тогда
3
kn
k=0
k=0
)
при n > n0 имеем
требовалось. Теорема доказана.
что
и
a
aИнтеграл Стилтьеса применяется в теории вероятности, механике и других науках. Наглядным представлением этого интеграла является площадь трапеции с нелинейным масштабом по горизонтальной оси.