- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
f ( x) называется функцией с суммируемым квадратом или функцией, суммируемой с квадратом на множестве X, если f2(x) суммируема на X, т. е. 3[L] j f2(x)dx< +¥ .
X
Множество этих функций обозначается L2( X). Каково соотношение L(x) и L2(X)?
Теорема 1
L2( х) с L( х). Доказательство
Имеет место очевидное неравенство: | f (x)| < 1 (1 + f 2(x)).
Таким образом, если f 2(x) суммируема, то и | f (x)| суммируема, значит, и f (x) суммируема, т. е. L2(х) с L(х) .
Теорема 2
f (x), g(x) e L2(х) ^ fge L2(х).
Доказательство
Указанное свойство выполняется в силу очевидного неравенства
\f (x) g( x)\ < 2 ( f 2( x) + g 2( x)) .
Теорема доказана.
Теорема 3
f(x) e L2(х) ^ 1f(x) e L2(X),Лe R. Очевидно, вытекает из теоремы 2.
Теорема 4
f(x), g(x) e L2(X) ^ f(x) ± g(x) e L2(X) .
Вытекает из очевидного равенства ( f (x)± g(x))2 - - f 2( x) ± 2 f (x) g( x) + g2( x).
Отсюда получается исключительно важный результат.
Теорема 5
13 (X) есть линейное подпространство в L(x).
Действительно, теоремы 3, 4 показывают выполнение критерия подпространства.
Поскольку при f (x), g(x) e L2( X), f (x)g(x) e L2( X) , то скалярное произведение этих функций, как элементов
пространства L ( X), может рассматриваться и в пространстве L2( X), которое будет эвклидовым подпространством эвклидового пространства L (x).
Таким образом, в L2( X) можно рассматривать ортогональность функций и связанные с ней вопросы, выполняется неравенство
[Y[L]I /(x)g(x)dxl < [L]I f2(x)dx• [L]Ig2(x)dx^
которое в
X / X X
T2,
L2( X) имеет название неравенства Буняковского. Если взять g(x) ° 1, f (x) заменить на \f (x)|, то из этого неравенства получим еще одно:
[L]I| f(x)|dx<VmXх [L]I f2(x)dx. (*)
X V X
2
Как определить норму в L2( X)? Поскольку оно эвклидово, то можно вводить эвклидову норму:
2
f(x)||д = f = J[L]I f2(x)dx.
L2( X) - подпространство L (x). Норму L (x) можно записать так:
i
i V
|| f(x) || = [L]I | f(x) |dx = [ [L]I| f(x) | dx I . Тогда, по
x V x j
аналогии, в L2 ( X) надо норму вводить так:
1
|| f (x) || = I [L]I | f (x) | dx j . Но это и есть эвклидова норма. В
X
L ( x) тоже можно вводить эвклидову норму, но она отличается от ранее введенной. Это будет другое нормированно
е
пространство. А L (X) понимается именно как пространство с нормой [ L]J | f(x) \dx.
X
Итак, L2( X) есть предгильбертово пространство.
Неравенство треугольника в L2( X) имеет название неравенство Коши:
J[L]J( f(x) + g(x))2 dx [L]J f2(x)dx + J[L]Jg2(x)dx.
Сходимость по норме в L2( X) называется сходимостью в среднем порядке 2:
fn(x)fo(x) о lim[L]J( fn(x) - fo(x))2dx = 0.
n X
Как обычно, сходящаяся в среднем последовательность фундаментальна в среднем. Верно и обратное.
Теорема 6 (Э. Фишер)
Фундаментальная последовательность в L2( X) является сходящейся в этом пространстве. Доказательство
Практически полностью повторяется доказательство полноты L(x). Пусть ( fn(x) )n_N фундаментальна. "K е N
выберем
nK
е
N:
n
>
nK,
m
>
nK
^ || fn
-
fm
||
<
—^
.
Поскольку
Z < +¥ , то и Z II 4+1 - 4 II < . Поскольку
K=1 2 K=1
[L]J| fnK+1 - fBK \ dx< mX|| fnK+1 - fnK II (из (*)), то в силу 13°, №5,
X
главы 3 почти всюду сходится ряд | fn1 (x) | + Z | fnK+i (x) - fnR (x) |,
K=1
+
т. е. ряд fn1 (x) + £ ( f„K+i (x) - fnK ) абсолютно сходится почти
K=1
всюду на X, его частичные суммы Sm (x) = f (x) . Это означает, что ( fn (x) )neN сходится почти всюду на X при n ® +¥ . Построим функцию:
Г lim fn (x), где предел есть и конечен,
a x)=l*®-* (Л ,
[ 0, где предела нет, или он бесконечен.
f0(x) измерима на X. fnK (x) » f0(x) . Покажем, что
f0(x) e L2(x). "e> 0 $n0(e); n > щ, k > k0 будет
||
fn
-
fnK\\
<e,
те.
[
L]
j
(
fn(x)
-
fnK
(x)
)2
<
e.
Применим
теорему
Фату
к последовательности
fn
-
f
,
k
>
k0,
имеем [L]
j(
fn
-
f0
)2
<
£2,
тогда f0(x)
e
L2(x)
,
причем
X
fn ( x) f0( x).
Теорема доказана
Итак, L2(X) - гильбертово пространство. Поэтому общий вид непрерывного линейного функционала будет l( f) = fg = [L]j f(x)g(x)dx, g(x) e L2(X). Сопряженным к
X
L2 ( X) есть оно само. Слабая сходимость имеет вид: fn(x) —® x) ^ lim [L]j fn(x)g(x)dx =
n®+¥ J
X
= [L] j ax)g(x)dx, "g(x) e L2(x).
X
Как обычно, сходимость по норме влечет слабую сходимость. Установим соотношение сходимостей в среднем и по мере
.
Теорема 7
fn (x) —fo( x) влечет fn (x) ^ f0(x). Доказательство
"s > 0 обозначим 4 (s) = X(| fn - f0 |> s) .
[L]j(fn - /0)2 dx> [L] j (fn - /0)2 dx>s2®4n(s).
An (s)
При фиксированном s> 0 при fn (x) ——® f0(x), [L] j(fn - f0)2 dx® 0, следовательно, mAn(s) ® 0, т. е.
fn (x) ^ f0( x).
Теорема доказана.
Как связана сходимость в среднем со сходимостями почти всюду и поточечной?
Во-первых, из сходимости в среднем не следует сходимость почти всюду.
Пример
"k
е
N
"i
=
1
■
k
на
[0,1) построим
k
функций:
1,
x
е
4
(x)
=
0,
xe
k 'k У i-1 i
k 'k
)
Это семейство функций счетно, расположим его в последовательность:
g1( x) = f11( X), g2( x) = f21( X), g3( x) = f22( x)
.При n ® +¥, k ® +¥. m Следовательно,
c -1 i Л 1
~т, k J =1 ®0
.[L] j dx = [L] j gn(x)dx = (L) j gn(x)dx = (L) j dx =
c-1 i 4
[
0,1)
[
0,1)
[
0,1)
j
= (R) J dx = 1 ® 0, т.е.[L] J (gn(x) - 0 )2 dx ® 0 и
[
0,1)
c
-1
i
kk
->0.
Но
gn(x)
®
0
"xe
[0,1]:
"x0
e
[0,1)
"k
$i
:
ль
e
fki (x0) = 1.
Это означает, что сколько угодно далеко в последовательности (gn (x0) )neN есть элементы, отличные от нуля, а именно, единицы. Итак, gn(x) —® 0.
Во-вторых, простая поточечная сходимость не влечет сходимости в среднем.
Приме
р
n, 0 < x < 1 n
X
= [0,1],
fn
(x)
=
"x0
e
X,
n
lim fn(x0) = 0, fn(x)® 0.
Но [L] J fn2(x)dx = [L] J n2dx = (L) J n2dx
=[0,1]
(0,1)
n
(0-)
n
n C2
0
[0;1 ] n
Перейдем к рассмотрению вопросов, связанных с ортогональностью. Поскольку L2( X) - гильбертово, то метрическая структура, определяемая скалярным умножением, и есть исходная метрическая структура пространства. Поэтому ортонормальные системы функций являются естественной структурой в L2( X). Ортонормальность
F = {jk(x)}keN означает
:
[L]J
j2(x)dx
=
1, [L]Jjk(x)
jm(x)dx
=
0 при
m
Ф
k
.
X X
Коэффициенты
Фурье для
f
(x)
е
L2
(
X)
по
j
определяются
формулой: Ск
=
[L]J
f(x)jk(x)dx.
Обобщенный ряд Фурье для
X
f(x) по j: ZCkjk(x). Пусть Sn(x) - частичная сума этого
k=1
ряда. Рассмотрим 11 f - Sn||. Вычислим сначала [L]J f(x)Sn(x) и
X
[L]J S2( x)dx.
X
n n
[L]J f(x)Sn(x)dx = Z Ck[L]J f(x) jk(x)dx = Z Ck2.
k=1 X k=1
n
[L]JS2(x)dx = ZZ[L]J j(x)jk(x)dx = ZCk .
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2
КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3
а\в 15
( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23
2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37
Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37
склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38
3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38
. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77
х = щ, k = 1,2,...,n 101
^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 206
= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 236
[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 255
Это тождество Бесселя. Из него: Z Ck < || f \\ - неравенство
k=1
Бесселя. Ввиду произвольности n е N; Z C2 <|| f|Г -
k=1
предельное неравенство Бесселя. В случае равенства,
Z С2 f||2 получаем Равенство Парсеваля, которое также
k
называется формулой замкнутости. Это условие означает, что || f - ® 0, т. е. Sn (x) —f (x) . Аналогично могут быть
непосредственно доказаны другие факты в L2(X), относящиеся к их свойствам как гильбертовых пространств.
Замкнутость ортонормальной системы означает выполнение формулы замкнутости для Vf (x) е I2( X).
Теорема 8
Если D - замкнута, то fg = £ akbk ,
k=1
где ak, Ък - коэффициенты Фурье для f (x), g(x) соответственно по системе Ф .
Доказательство
ak[L]{ f(x)jk(x)dx bk = [I]Jg(x) jk(x)dx.
X X
Для h(x) = f (x) + g(x), коэффициенты Фурье ck = ak + bk. В
силу замкнутости Ф, получаем 11 f + g||2 = £ (ak + bk)2 . Отсюда
k=1
|| f + g\|2 = ( f + g)( f + g) = f2 + 2 fg + g2 =
¥ ¥ ¥ ¥ ¥
= £ al + 2£ akbk + £ b2 = f2 + 2£ akbk + g2 ^ fg = £ akbk . k=1 k=1 k=1 k=1 k=1
Теорема доказана.
Естественно, в L2(X) выполняется теорема Рисса-Фишера. Важной особенностью I2( X) является эквивалентность условий замкнутости и полноты ортонормальной системы.
Теорема 9
Ортонормальная система функций Ф = {j(x)}ne n замкнута
тогда и только тогда, когда она полная. Доказательство
1. Если Ф - замкнута и f (x) L Ф, то Ck = fjk = 0.
Из формулы замкнутости 11 f \|2 = £ Ck = 0 ^ f = 0 .
k=1
2. Пусть Ф полная. Допустим противное: Ф - не замкнутая
$g(x) : ^ Ck < |\g\|2. По теореме Рисса-Фишера:
k=1
$f(x): [L]f f(x)jk(x)dx = Ck, 11 f\\2 = Z Ck2.
X k=1
полн
Тогда h(x) = f (x) - g(x) ± Ф ^ f (x) = g(x), но также || f || < ||g||. Противоречие. Теорема доказана.
Особая роль пространства L2( X) выясниться немного позже. Перейдем к другим пространствам суммируемых функций.