§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1

Если функция f₀(x) есть простой поточечный предел последовательности (f_n(x))_neN измеримых на X функций, то f₀( x) измерима на X.

Доказательство

Введем обозначения:

^^⁾ = X { k > а + -11, B* = f) A

' mJ k=n

Эти множества измеримы в силу измеримости f_n (x). Покажем, что X( f₀ > а) = J JB? .

nm

Пусть X) е X( f₀ > а) , тогда

f₀(x₀) > а ^ $mе N: f₀(x₀) > а + — .

0 0 0 0 _m

В силу сходимости

^fk^(x) ® ^f0^(х)$Пз:^k > ⁿ0 ^ ^fn^(x0⁾ > ^а + —.

m

Итак, при k > П0 ^ x0 е A1⁾ ^ x0 е ВП⁾ ^ x е JJBf.

n m

Это означает, что

x (f > а) с jjmn>.

nm

Обратно, пусть x₀ е JjB;^m) ^ x₀ е B,ⁿ⁾ при некоторых m и

nm

n. Таким образом, xе A⁽Jk⁾ при k > n, тогда будет

f_k(x₀) > а + — . Перейдем к пределу при k f₀(x^) > а + —.

^{k 0} _m ^{0 0} _m

В силу произвольности m е N, f,(x₀) > а и x е X( f > а).

Значит, JJB_mⁿ⁾ с X( f₀ > а) . В итоге указанные множества

nm

равны и f₀ измерима на X . Теорема доказана.

Теорема 2

Если f_n(x) измеримы на X и f_n(x) > f₀(x) почти всюду

на X, то f₀(x) измерима на X.

Доказательство

Обозначим A = { x₀ е X: f_n (л^) ® f₀ (x₀)}.

По условию mA = 0 ^ f₀(x) измерима на A. На X\ A f₀ измерима по теореме 2. Тогда она измерима на Au (X \ A) = X. Теорема доказана.

Теорема 3 (А. Лебег)

Пусть ( f_n )_neN измерима на X, f_n ® f₀ почти всюду на X и

f₀ почти всюду конечна на X. Тогда "d > 0 lim mX(I f_n - f₀| >d) = 0.

n®¥ ^{1 1}

Доказательство

В силу теоремы 2 f₀ измерима на X. Тогда множества

X(| f_n - f₀| > d) измеримы. Введем обозначение: A = X(| f| = +¥), A_n = X(| f_n| = +¥),

B = X ( f_n ® f0). D = A u {UUA_n j u B. Ясно, что mD = 0 . Еще обозначения: Xk (d) = X (| f_k - f₀\>d), Xn(d) = UXk (d), U = № (d).

k=n n=1

Все они измеримы.

Поскольку 11(d) з Y₂ (d)3 ... з Y_n (d)3 ..., то mY(d)® mU.

Также U с D. Действительно, если x₀ £ D, то

lim f, (Л0) = f₀(x₀) и при этом f(x₀), f₀(x₀) - конечные

k

вещественные числа. Тогда 3n₀ : k > n₀ ^ | f_k(x₀) - f₀(x₀)| < d, т.е. x £ X_k (d), а значит, x₀ £ in (d) ^ x₀ £U, получаем

cU з cD ^ U e D. Но тогда mU = 0 и lim m(Y(d)) = 0, а раз

Xn (d) e Yn (d), то lim m(Yn (d)) = 0.

Теорема доказана.

Венгерский математик Ф. Рисс взял результат А. Лебега как определение нового вида сходимости функциональной последовательности. Определение

Пусть функции последовательности (f_n)_eN измеримы и почти всюду конечны на множестве X. Говорят, что последовательность сходится на X по мере к функции f₀ , если

lim mX (I f - f₀| >d) = 0, "d> 0.

Запись: f_n (x) ^ f₀ (x) (символ Г. М. Фихтенгольца). Таким образом, теорему А. Лебега можно сформулировать так:

Теорема 3* (А. Лебег)

Сходимость почти всюду влечет сходимость по мере.

Итак, мы уже имеем 4 вида сходимости функциональных последовательностей: равномерная ^ простая поточечная ^ ^ почти всюду ^ по мере.

Как известно, первые две импликации необратимы. Необратима и третья.

Пример

4 (x ) = \

X = [0; 1). "кe N, определим семейство к функции:

Все построенные функции дают счетное множество. Расположим их в последовательность:

g1 ( ^x) = ^f11 ( ^x) ^, g2 ( ^x) = ^f12 ( ^x) ^, g3 ( ^x) = ^f22 ( ^x) ^,

gn ( x) ^ 0, т. к. X (| gn\ >d):

g₄ ( ^x)= ^f13 ( ^x) ^, ...

i -1 i I

; — I и его мере ® 0 при

k k)

II ® ¥ .

"x₀ е [0;1)"k е N$iе N: x₀

е

С другой стороны, j_n ® 0 в "xе X. Действительно,

^{1 1};^— |^{, тог}д^{а f}—k (x ) =¹.

kk

При "n е N можно найти n > n₀:j_n, (x,) = 1 и j_n (x) ® 0 .

Таким образом, мы получаем цепочку 4 расширяющихся видов сходимости (как принято говорить, все более слабых: чем сильнее сходимость, тем меньше в ней последовательностей).

Характерной особенностью сходимости по мере является возможность замены предельной функции.

Теорема 4

^fn ^ g ^, g ~ ^h ^ ^fn ^ ^h .

Доказательство

"d > 0 будет:

X(| fn - h\ >d)e X(g ф h) u X(| fn - g| >d).

Первое множество в первой части имеет меру нуль, поэтому

mX (| fn - h| >d)< mX (| fn - g| >d) ^ fn ^ h.

Теорема доказана.

Это означает, что сходимость по мере характеризуется некоторой неоднозначностью результата. Но эта неоднозначность в вопросах меры несущественна и эквивалентные функции вообще отождествляют. Это дает много удобств и теоретического и практического характера. Особенно ярко это проявится в теории интеграла.

Теорема 5

^fn ^ g^{Л f}n ^ ^h ^ g ~ ^h .

Доказательство

"d > 0 будет:

X(|g- h > d) e X|J f_n - g > |j и X| f_n - h > dj (легко

проверить по дополнениям множеств).

При n ® ¥ мера правого множества ® 0. Тогда mX(|g- h\ > d) = 0. В силу произвольности d> 0 mX(g Ф h) = 0 и g ~ h .

Теорема доказана.

Вернемся к 4 видам сходимости. Хотя импликации там необратимы, все же «обратная связь» существует.

Теорема 6 (Ф. Рисс)

Если f ^ f₀, то 31 f ) : f > f₀ почти всюду.

^{n 0} \ ⁿk ! k_eN ⁿk ⁰

Доказательство

Возьмем строго убывающую и сходящуюся к нулю (d_n )_eN

положительных чисел.

Возьмем также сходящийся знакоположительный числовой

ряд: Z^ak <+¥ . Строим последовательность (n_k)_keN. к=1

n - такое натуральное, что mX ( f_n - f₀ > s₁) < a₁.

ⁿ2 ^mX (| ^fn₂ ^{- f}0| > ^S2 ) < ^a2 ^и n > ⁿ1 ^{, и т}. д.

Покажем, что f_n ® f₀ почти всюду на X .

Обозначим A = u X ( f_n - f₀ > d_k), B = п A

k=i ^ ^k ' i=1

Дз A ³ A ³ .. ^ mA ® mB. Поскольку mA_t < Z,a_k, то

k=i

mA ® 0 ^ mB = 0 . Пусть x₀ е X \ В ^ x₀ й Д , т. е. при k > i₀ будетx0 й X (

>^ak) ^

f - f

V 0

f _- f

V 0

<^k^{, k} > ⁱ0;

т. к. a ® 0, то

f_nt (x0)® f0 (x) "x е X \ В. Теорема доказана.

«Обратную связь» сходимости по мере с равномерной сходимостью дает:

Теорема 7 (Д. Ф. Егоров)

Пусть f_n > f₀ почти всюду на X, f_n и f₀ - измеримы и

почти всюду конечны. Тогда Vd > 0 $X_d с X измеримое, такое, что:

f₀.

1) mX_d > mX-d;

2) на X_s f_n

Доказательство

Возьмем знакоположительный сходящуюся ряд ^ a_t < +¥ и

i=1

последовательность (Д_п ) _N, сходящийся к нулю, строго убывающую и b_n > 0 .

При доказательстве теоремы Лебега было получено, что

mY_n (Д) ® 0, Y_n = j X_k (| f_k - f₀1 > Д) Viе N можно взять

k=n

ц е N: mY_ni (bi )<a.

Далее найдем i₀: ^ a_i < d

.

Обозначим E = U Y_n ^).

ⁱ=ⁱ0

Тогда mE < d.

Положим X_d = X \ E. Ясно, что mX_d > mX - d. Покажем, что на X, f_n —* f₍₎. Возьмем произвольно e > 0 . Найдем i > —0, Д. < e .

Установим, что при k> n_t и "xе X_d будет | f_k(x)- f0 (x)|<e xе X_d ^ xg E. Тогда xg (P_t). Значит, при k > n_t

x g X (| fk - f| >Д.) fk (x)-f₀ (x) < Д < e, "x е Xd.

Значит, f_n —- f₍₎ на X_s. Теорема доказана.