§ 3. Структура измеримых функций

Здесь мы рассмотрим приближения измеримых функций другими важными классами функций.

Теорема 1

Если f измеримая и почти всюду конечная на X, то "e > 0 $g (x) измеримая и ограниченная на X, такая, что mX(fфg)<e. Доказательство

Введем множества: A_k = X ( f| > k), k е N, B = X (| f| =+¥) . По условию теоремы mB = 0 .

Поскольку очевидно, Д з A₂ з A₃ з ..., B = п А_к, то

k=1

mA_k ® mB = 0 при k ® ¥ . Найдем K₀ : mA_ko < e. Определим на X функцию:

f (x);xе X\ А,

g ( x) =

0; xе A_k ,

^k0

g(x) измерима и ограничена: |g| < k₀. Также X( f Ф g) = A^ . Теорема доказана.

Смысл этой теоремы в следующем. Измеримая и почти всюду конечная на X становится ограниченной, если отбросить от X множество сколь угодно малой меры.

Рассмотрим без доказательства два вспомогательных результата.

Лемма 1

Пусть множества F₁, F₂,..., F_n замкнуты и попарно не пересекаются. Если функция j( x) на каждом множестве F_t

n

постоянна, то на F = UF она непрерывна.

i=1

Лемма 2

Пусть F a; b] - замкнуто. Функцию j( x), непрерывную на F , можно непрерывно продолжить с сохранением max модуля на [ a; b]. Доказательство есть в [1].

Теорема 2 (Э. Борель)

Пусть на [a; b] задана измеримая и почти всюду конечная

функция f (x). Тогда "e> 0 A"d> 0 существует непрерывная на отрезке [a;b] функция g(x), такая, что mX(| f -g\ >d)<e. Если | f (x)| < K, то g(x) можно выбрать так, что |g(x)| < K.

Доказательство

Рассмотрим 2 возможных случая:

1. \f (x)|< K Vxe [a; b].

Для заданных e> 0 и d> 0 найдем m e N:^K <d и введем

m

множества:

E = X| — K< f< — K|,i = 1,2,...,m-1; | m m J

E_m = X j^¹ K < f < K .

m

Они измеримы, попарно не пересекаются и JE, = [a; b]. Для

i=1

£ m

построим замкнутое F_i e E_t, такое, что mF_i —, F = JJF_i.

m

Тогда [ a; b] \ F = J (E_t \ F), отсюда m [ a; b] - mF < e . Определим

i =1

на F функцию: j(x) = — K при xe F_i. По лемме 1 она

mⁱ

непрерывна на F, j(x)| < K, |f (x)-j(x) < d при xe F.

По лемме 2 распространим на j(x) отрезке [a; b], получим непрерывную на [a; b] g(x). Причем max j(x)| = max |g(x)|, тогда max g (x) < K.

X(| f - g| >d)c[a; b] \ F, так что g(x) - требуемая.

2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим

_e

ограниченную h (x): mX ( f Ф h )<~. По функции h (x)

_e

построим непрерывную y(x): mX(h-y)> —. Поскольку

X(| f> d) с X( f Ф h) j X(|h-y| >s), то y(x) требуемая. Теорема доказана.

Отсюда мы получим 2 интересных результата о сходимостях функциональных последовательностей.

Теорема 3

Для каждой измеримой и почти всюду конечной на отрезке [a; b] функции f (x) существует (y_n непрерывных, таких,

что y_n ^ f.

Доказательство

Возьмем две последовательности: d₁ >d₂ >d₃ >,...,d_n ® 0,

e >e₂ >e₃ >,...,e_n ® 0.

Vnе N построим непрерывную y_n (x), что mX(| f-y_n| >d_n)<e_m. Тогда X y_n ^ f, т. к. Vd > 0 при достаточно больших n будет d_n < d, значит, X (| f-_Vn\>d)c X ( f-y>dn). Теорема доказана.

Применив к (y_n )_ngN теорему Ф. Рисса о последовательности, получаем второй результат о сходимостях.

Теорема 4 (М. Фреше)

Для каждой измеримой и почти всюду конечной на отрезке

[a; b] функции f (x) $(j_n ) непрерывных, (j_n) > f почти

всюду.

Наконец, установим результат о приближении f (x) непрерывными функциями.

Теорема 5 (Н. Н. Лузин)

Если f (x) измерима и почти повсюду конечна на отрезке

[a; b], то "d > 0 существует такая непрерывная j(x) на отрезке [a; b], что mX( f Фj)<d. Если при этом |f (x)| < K, то и j(x)|< K.

Доказательство

По теореме М. Фреше построим (j_n). По теореме

Д. Ф. Егорова найдем X_d:mX_d>b-a- — и на X_s ср_п —► /.

Тогда (теорема анализа) f непрерывна на X_d . Найдем F с X_d

_d

замкнутое: mF>mX_d-—. f (x) непрерывна на F. По лемме 2

распространим f на отрезке [a; b]. Получим функцию j, непрерывную и совпадающую с f на F .

Тогда X( f ф j)c[a; b] \ F, мера множества меньше d.

|f (x)| = x² +1, значит, X = (-1;1], j( x) требуемая.

Если |f (x) < K, то это [a; b] будет и на F, а тогда по

лемме 2, j(x)| < K. Теорема доказана.

Смысл такой: измеримая и почти всюду конечная на отрезке [a; b] функция становится непрерывной, если от отрезка

[a; b] отбросить множество сколь угодно малой меры.

Можно далее рассматривать аппроксимацию (приближение) измеримых функций более специальными классами непрерывных функций, в частности алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Об этом можно прочитать в [1]

.

Решение типовых задач к главе 2 Задача 1

Проверим измеримость функции f (x) = 5x + 3 на множестве X = (1,3].

Решение

X измеримо. Рассмотрим множества X ( f > a), a е R,

a — 3 (a — 3 ^

5x + 3 > a, x >—-— . Рассмотрим множество I—-—, +« Iп (1,3],

для чего переберем соответствующие значения для a .

1) ^a—3 < 1. Тогда X( f > a) = ³, п (1,3] = (1,3] -

измеримо;

a — 3 a — 3 „ _w „ ч (a — 3 Л

a)

, но —— < 3. X ( f > a) = I ,3 I - измеримо;

5
a—	3
5
a—	3

5

Итак, X ( f > a) измеримо "a е R и f измерима на X.

Задача 2

Доказать, что если f³ (x) измерима на X, то f (x)

измерима на X . Решение

X по условию измеримо.

X ( f > a ) = X ( f³ > a³) . Поскольку второе множество измеримо "a е R, то и первое измеримо "a е R. Следовательно, f (x) измерима на X

.

Задача 3

Измерима ли функция Дирихле на [с; b] ? Решение

X = [с; b] измеримо, X( f > a) представляет собой также множества для различных значений a e R:

1. a < 0, X( f > 0) = [c; b] - измеримо;

2. 0 < a < 1, X( f > a) = Q_{c b}] - измеримо;

3. a > 1, X( f > a) = 0 - измеримо. Следовательно, функция Дирихле измерима на [с; b].

Задачи к главе 2

1. Проверить измеримость функции f (x) = x² +1 на множестве X = (-1;1] .

2. Доказать, что если f (x) измерима на X, то f² (x) измерима на X . Верно ли обратное?

3. Доказать, что если f (x) измерима на X, то |f (x)|

измерима на X . Верно ли обратное?

4. Доказать, что функция ограниченной вариации измерима на [a; b].