§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn

Поговорим немного о структуре открытых и замкнутых множеств в пространстве Rⁿ, n > 1.

Теорема 1

Каждое открытое непустое ограниченное множество на плоскости есть объединение не более чем счетного семейства замкнутых прямоугольников без общих внутренних точек попарно.

► Выберем на плоскости прямоугольную систему координат xOy , проведем сетку прямых, параллельных осям, через 1

единицу масштаба. Эту сетку обозначим как S_l. Далее проводим прямые через 1 единицы, получаем сетку S₂ и т. д. Сетка S_n

образована квадратами со стороны -1. Четыре квадрата сетки

S_k+1 составляют один квадрат сетки S_k .

Пусть G - данное непустое открытое ограниченное множество. Обозначим через F₁ замкнутое множество, состоящее из всех квадратов сетки S₁ , целиком входящих в G .

G з F₁. Далее F₂ - замкнутое множество, получающееся из F₁ присоединением тех квадратов сетки S₂ , которые входят в G, но не вошли в F₁. Продолжим этот процесс. Обозначим

A = j F_n. Покажем, что A = G. A с G, очевидно, что

_n=1 ⁿ

"n е N ^ F_n с G. Установим, что G с A. Пусть x₀ е G - любая. Тогда существует последовательность квадратов (K_n )_neN, стягивающаяся к точке x₀. Так как G открыто, то x₀ входит в G вместе с некоторой e -окрестностью. Начиная с n = n₀ и далее, квадраты K_n входят в эту окрестность, а значит,

71

ив G. Пусть K - квадрат с наименьшим номером из

вошедших в G . Он входит в F_ng (либо как квадрат сетки S , либо как часть квадрата сетки с меньшим номером). Значит, K с A ^ х_п е A и G с A.

? "о ⁰

В итоге G = A . Семейство {F_n} счетно, ибо при конечном

m

количестве U F_n замкнуто ◄ .

n=1

Указанное разложение G = U F неоднозначно.

n=1

Этот результат можно, очевидно, обобщить на пространство

Rn.

Представление будет через n - мерные гиперкубы (см.[10], с. 114-116). Эти результаты, очевидно, есть обобщение теоремы 5 §4. Можно обобщить и теорему 5.

Теорема 2

Каждое непустое открытое множество G с R" есть объединение не более чем счетного семейства открытых гипершаров.

Обозначим гипершар с центром в т. хе R" и радиусом r

oo

через Ш(х₀; г) . Ш(х₀; г) = { х е R" : p_E(х, хо) < г} . Рассмотрим два случая.

^¥ o

1. G = R". Тогда G = U Ш(0; m).

m=1

o

2. G Ф R". В этом случае среди всех Ш(х; k), где хе G и

o

Ш(X; г) с G всегда имеется гипершар тах радиуса. Докажем это. Обозначим D = {г > 0: Ш(х z) с g}. D Ф0, т. к.

G открыто и такие гипершары имеются. G Ф Rⁿ, поэтому D ограничено сверху. По принципу Вайерштрасса (см. курс

o

матанализа), 3r₀ = sup D. Покажем, что Ш(x, z) с G. Это будет искомый гипершар.

o

Возьмем произвольно yе Ш(x г), т. е. p_E (y, x) < г₀.

o

o

Найдется г е D: р(y, x) < r, при этом Ш(x, г) с G .

o

Поскольку yе Ш(x,г), то yе G и Ш(x,r₀) с G.

Далее обозначим G_Q множество всех рациональных точек множества G . Оно непусто, поэтому счетно. Перенумеруем его:

o

x₁, x₂,..., x_m,... "x_m существует гипершар Шm max радиуса с центром в точке x_m , содержащейся в G .

Покажем, что G = J Шm . Очевидно, J Шm с G.

m=1 m=1

^¥ o

Покажем, что G с J Шm . Произвольно возьмем y е G, тогда

o

Ш( y, e) с G при определенном e> 0 . Подберем рациональную

e

точку x е Rⁿ так, чтобы p_E (y, x) < —. Поскольку

o o e

x е Ш(y, e) с G, то x е Gq . Пусть x = x_k. Ш(x,—) с G

^oe

(неравенство треугольника для метрики). Из Ш(x_kс G

o e o

видно, что Шк имеет радиус > — ^ y е Шk. yе G -

произвольно, тогда G с J S_m.

m=1

Решение типовых задач к главе 2 Задача 1

Найти расстояние между точками A (1,3,0,4,5) и B (2,1,1,3,1) в пространстве R⁵.

Решение

По эквклидовой метрике

r A, B) = V( 2 -1)² +(1 - 3)² +(1 - 0 )² +(3 - 4)² + (1 - 5)² = = у] 1² + (-2)² +1² + (-1)² + (-4)² = V 1 + 4 +1 +1 +16 = V23 .

Задача 2

Доказать, что в пространстве

1 1 3 R , A(1 + - ,2 — ,2 + —) ® A₀ (1,2,2) при n ® +¥ n n n

Решение

1 1 3

r An, Ao) = < (1 + - -1)² + (2---2)² + (2 + - - 2)² _{n n}² _n³

1 1 9

= J -7 + ^ + ® 0.

V n² n n⁶ Задача 3

Имеет ли множество N внутренние точки? Решение

Выберем произвольно n е N, тогда окрестность 11

(n , n +—) при m > 2 не содержит, кроме n, других чисел из

m m

N. Все точки из N невнутренние и IntN = 0 . Задача 4

Найти предельные точки множества A = {1,2,3,4}. Решение

Предельных точек это множество не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности каждой точки из A , кроме нее,

нет других точек из A. Следовательно, A = 0 . Задача 5

Найти внутренность, предельное множество, замыкание множества A = ( 1,2] j { 5} . Решение

Точки, не входящие в A, внутренними быть не могут. (1,2) с IntA, т. к. каждая точка входит в A вместе с некоторой окрестностью. Точка 5 - изолированная следовательно, IntA = (1,2).

A = [1,2], т. к. 1,2 предельные. A = [1,2] j {5} по формуле

A = A j A'.

Задача 6

Является ли множество A = (1,5] множеством типа G_s ? Решение

Поскольку (1,5]= п (1,5 +¹), то A имеет тип G_s.

n=1 n

Задача 7

Является ли множество A = Nх R открытым в R² ? Решение

Не является, т. к. нет круга на плоскости, содержащего точку (n, a), n е N,aе R и полностью входящего в A.

Задачи к главе 2

1. Входят ли точки A (1,1,2,1) в шар Ш(0, г),0(0,0,0,0) в пространстве R⁴?

2. Доказать, что последовательность точек A_n (¹, 1 - 1)

n ir

сходится к точке A₀ (0,1,1) в пространстве R³.

3. Выяснить, являются ли открытыми или замкнутыми множества N, Z, Q, I на прямой.

4. Найти IntA, A, A, F_rA для A = (-1,9] j {11} j {12} на прямой.

5. Найти IntA, A, F₂ A, A

для множества A = {M(x, y) :1 < x² + y² < 9} на плоскости.

6. Найти множество A , если A = {0}.

7. Найти множество A , если A = {0,1,2}.

8. Найти множество A, если A = J -¹ L n е N.

I n²

9. Является ли множество A = [1,2] j {3} множеством типа

Gs ?