- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§ 4. Сравнение мощностей
Обозначим А = a, B = b . Как ввести отношение порядка во множестве кардинальных чисел?
С точки зрения логики возможны четыре случая:
А~Ц с B a B~A1~A.
В этом случае по теореме Кантора-Шредера-Бернштейна A~B,
т. е. a = b .
А з A1~B, но $ B с B: B1~A. Естественно считать, что А > B, т. е. a > b.
B з B1~A, но $ А1~А : Д ~B. Аналогично считаем b > a .
$ Дс А : A1~B a$ Д с B: Д~А.
В этом случае надо считать a и b несравнимыми между собой. Однако в современной математике во избежание парадоксов все же ограничивают доступ множеств в математику некоторой системой аксиом. При принятии наиболее распространенной аксиоматики Цермело - Френкеля доказывается, что случай 4 невозможен, и далее мы его не рассматриваем. За подробностями отсылаем к [1].
Итак, вследствие наших определений любые два кардинальных числа сравнимы. Выясним свойства введенного нами отношения порядка для мощностей.
Ясно, что случай a = b исключает a > b и b > a . Как обычно, a < b означает, что b > a. Одновременно a > b и a < b не могут иметь место. Действительно, в противном случае имеем: $Д : A~B и ЗД : B1~A. Тогда по теореме Кантора-Шредера-Берштейна: a = b .
Несовместимы также a = b и a > b , поскольку a = b требует B с B: B1~A1, а a>b запрещает это. Аналогично a = Р и a < Р не могут иметь место одновременно. Значит, верна.
Теорема 1
При сравнении кардинальных чисел выполняется одно и только одно из трех условий:
a = p;
a > р;
a < b. (свойство трихотомии).
В частности, a > a никогда не выполняется. Для того чтобы утверждать, что сравнение кардинальных чисел, введенное нами, действительно есть отношение порядка, надо еще установить, что оно транзитивно.
Теорема 2
Если a < Р и Р < g, то a < g. Доказательство
По условию A~B е B, B-Q е C, отсюда A~C2 е C, C2 = j( Bl), здесь j : B « Cx. Остается показать, что A~C. В противном случае C2 ~C ^ Q ~C ^ B~C ^ Р = g, что невозможно. И тогда a < g. Теорема доказана.
Как обычно, a < Р означает a < Р v a = Р . Таким образом, отношение a > Р есть отношение порядка на множестве кардинальных чисел.
Наименьшая мощность есть 0 = 0. Есть ли наибольшая мощность? Ответ укажет следующая теорема.
Теорема 3
Мощность булеана непустого множества больше мощности данного множества.
Доказательство
fi ( A) имеет подмножество {{ai)) одноэлементного
множеств, эквивалентное А, поэтому b ( А) > А. Покажем, что А неэквивалентно b( А). Допустим противное: a е А « j( a) = C с А.
Возможны 2 и только 2 случая:
a ej( a); a - назовем элементом 1 -го типа.
ae j( a); тогда a - элемент 2-го типа.
Обозначим S -множество всех элементов 2-го типа; S « a0 е А.
Какой же a0 ? Если a0 е S, то он 1 -го типа, но S из 2-го типа. Если a0 e S, то тоже не получится, т. к. он будет 2-го типа и
должен войти в S. Противоречие, тогда А~ B ( А) и B ( А )> А. Теорема доказана.
Отсюда, очевидно, вытекает исключительно важный и интересный результат.
Следствие
Не существует наибольшей мощности.
Если А = n, то b ( А) имеет 2n элементов:
C0 = 1,0;
Cn1 - одноэлементных; Cn2 - 2 элементных;
Cnn - все A.
Всего их C0 + C1 +... + Cnn = 2n.
Поэтому по аналогии, если A = a, то мощность булеана обозначают 2a. Теорема 3 дает 2a > a.
В связи с этим понятными становятся обозначения самого булеана: 2 A ,exp A.
Далее мы перейдем к рассмотрению бесконечных мощностей.
Начнем с мощности множества N натуральных чисел.