2. Достаточность

b n—1 n—1

V ( f, T) = f (xk+1)- f (xk )|< 2 (F(xk+1) - F (xk)) =

^a k=0 k=0

= F (b)-F (a )<+¥, V(T) - разбиение, следовательно, f (x)е V[a, b] ◄.

13⁰. f (x)е V [a; b]o f (x) = g (x)-h (x), где g (x), h (x) - ограниченные и неубывающие на [a, b] .

• 1. Необходимость.

По 12⁰ найдём F(x), неубывающую и ограниченную. Положим

g (x) = F (x), h (x) = F (x)- f (x). Тогда f (x) = g (x)- h (x). Покажем, что h(x) неубывающая. Пусть x* < x**.

h(x*)-h(x) = (F(x**)-F(x))-( f (x**)-f (x))> 0

по свойствам F( x) .

2. Достаточность. Если f (x) = g(x)- h(x), то возьмем F( x) = g( x) + h( x) - ограниченную и неубывающую. |f(x*)-f(x*)|<(g(x*)-g(x )) + (h(x**)-h(x )) = = F (x**)- F (x*). Так что F (x) удовлетворяет 12⁰,

следовательно, f (x) есть ФОВ ◄. Замечание

Поскольку g( x) , h( x) ограниченные, то, добавив к ним одну и ту же const , можно добиться их положительности на

[a, b]. Добавив к ним одну и ту же строго возрастающую ограниченную функцию (например, arctgx), получим g (x), h (x) строго возрастающими. Итак, в 13⁰. Всегда можно считать, что g (x), h (x) строго возрастают и положительны на

[ a, b].

Из представления f (x) = g (x)- h (x) получаем несколько

следствий ФОВ. Следствие 1

ФОВ может иметь разрывы только 1-го рода с конечным скачком. Следствие 2

Множество точек разрыва ФОВ не более чем счетно. Следствие 3

ФОВ есть функция не выше 1-го класса Бэра. Как уже отмечалось, ФОВ необязательно непрерывна. Рассмотрим специальные свойства непрерывных ФОВ.

14⁰. Если f (x)e V [ a, b] непрерывна в точке x₀, то в этой

же точке непрерывна и функция g(x) = V ( f (t)).

► Пусть x₀ e(a, b). Покажем, что g(x₀ + 0) = g(x) "e > 0.

Возьмем (T) - разбиение [x0; b]: x < x₁ < ... < x_n = b так, чтобы

b b

V( f (t); T) > v( f (t)) - e . Поскольку f (x) непрерывна в т. x₀, то

^x0 ^x0

можно считать, что при этом | f(xj)- f(x₀)| < e . Тогда имеем:

b b b b V (/(f)) < e + v(f; T) < 2e+ v(t; T) < 2e + v(f).

^x0 ^x0 ^x1 ^x1

x

Отсюда: V( f) < 2e, т. е. g(x;) - g(x^) < 2e. Тем более

x>

0 < g(x₀ + 0) - g(x₀) < 2e . В силу произвольности

e

g(X, + 0) = g(x₀) . Аналогично g(x₀ - 0) = g(x₀) . Следовательно, g(x) непрерывна в т. x₀. Так же получаем непрерывность g(x) в т. x = a справа, в т. x = b слева ◄ .

15⁰. Если f (x) е V[a; b] и непрерывна, то f (x) = g(x) - h(x)

непрерывна и неубывающая (которые можно при необходимости считать положительными или строго возрастающими).

• Вытекает из 14⁰ ◄.

b b 16⁰. иf) = lim V(f;T).

a 1(T)®0 a

b

• v(f; T) при добавлении новых точек разбиение не

a

<

убывает:

| f ( x_k+1 )- f ( x_k )| = f (x_k+1)- f (x*)+ f (x*)- f (x_k) f (x,+1)-f (x*)| + | f (x*)- f (x,) .

При x_k < x* < x_k+₁. С другой стороны, это увеличение < ^2w( ^f) ^на [х_к; ^xk+1 ].

Возьмем a< b( f) и (T*): a = x^-* < xj³ <... < x*_m = b такое, что

a

V( f;T*)>a.

a

при

V (f ;T * )■

<

a

Выберем d> 0, так, что f (xx )- f (x)

|x -x| <d. Это возможно, т. к. f(x) равномерно непрерывна на [a; b]

.

Покажем, что при l (T)< d будет V ( f; T)> а. Имея (T*),

a

составим по имеющемуся такому (T) новое разбиение (T **), получающееся как (T) u (T*).

Тогда V( f; T**) > V( f; T*). С другой стороны, (T*) получается

aa

из (T) добавлением не более чем m точек (по одной).

Каждый раз вариация по разбиению увеличивается меньше, чем

b

V (f; T *) -а

_на ^a

2m

2

V( f;T*)-а

Тогда V ( f; T**)- V ( f;T)

aa

b

Получаем:

<

b, , ^ Va( ^f;T )-а а+ V (^f;^T *) у( ^f;^T)> V(^f;^T**)- > ^ > а.

Значит, при l(T) < d, V ( f; T )>а, также у ( f;T )< I/ ( f)_:

bb это и означает, что V( f) = lim V( f; T) ◄.

a 1(T)®0

a

Решение типовых задач к главе 3 Задача 1

Доказать непрерывность функции f(x) = 3x + 5 в точке x = 1 по Коши, Гайне и Бэру. Решение

1. По Коши. Зададим произвольно e > 0 .

Рассмотрим условие | f (x) - f (x₀ )| < e . (*)

Имеем: |(3x+ 5)-(3*1 + 5) = |3x-3\ = 3|x-1| <e. Если

ee |x -1 < —, то (*) выполнена. Положим 5(e; x₀ )=^, т. е.

|x -1| <e, тогда |x - x₀| <5^| f (x)- f (x₀ )|<e и условие (C) выполнено.

2. По Гайне. Пусть x_n ® 1 при n . Зададим "e > 0. Рассмотрим условие | f (x_n) - f (x₀)| < e. Имеем:

|(3x_n + 5)-(3*1 + 5) = 3|x_n -1| <e. Поскольку x_n ® 1, то

_e

"5 > 0 n₀ (5): n > n₀ ^ |x_n - x₀| = |x_n -1| < 5. Поскольку |x_n -1| < —

влечет | f (x_n)- f (x₀)| <e, то положим 5 = ^ и по нему найдем

n₀(5). При n>n₀ будет |f (x_n)- f (x₀)|<e, т. е. f (x ) ® f (x₀) и условие (Н) выполнено.

По Бэру. Пусть xeV5( x₀), т. е. |x-1 <5^ 1 -5< x< 1 + 5. Поскольку f (x) возрастает, то при таких x будет: f(1 -5)< f(x)< f(1 + 5), т. е. 3(1 -5) + 5<3x+ 5<3(1 + 5) + 5, 8-35< f(x)<8 + 35

.

Колебание функции w( f;1;8)< 68. Колебание в точке: w( f; 1) = idif {68} = 0 и условие (В) выполнено.

Задача 2

Найти множество A₁ для функции Дирихле на [0,1].

5

Решение

В любой окрестности V( f; x^,8), x₀ e[0,1] колебание функции Дирихле равно 1 - 0 = 1. Поэтому "e > 0, A_e=[0,1]. В частности, Aj =[0,1].

5

Задача 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = x² на множестве F = [1,2] U {5} .

Решение

F замкнуто, поэтому указанные значения существуют. f( x) возрастает, поэтому m = f (1) = 1, m = f (5) = 25.

Задача 4

На множестве X = [0, +¥) задана функциональная

последовательность f (x) = —2—¹ . Найти предельную

л"² +1 + 5n

функцию, если она существует, и выяснить характер

сходимости.

Решение

xe X lim f (x) = lim —2—¹ = 0, так что f₀ (x) ° 0.

n®+^¥ n®+~ xc +1 + 5n

0

x² + 5n +1

Рассмотрим неравенство \f_n (x)- f₀ (x)<e. Имеем: 1

1 1 1

—2 < — "xe X. Если — < e, то

x² + 5n+1 5n 5

n

f_n (x)- f₀ (x)| <e Vxe X. Таким образом, можно выбрать 1

+1 зависящим только от e. Следовательно,

5e

сходимость равномерная.

Задача 5

Найти полную вариацию функций

n

'7, x = 0,

f (x) =

3x +1, 0 < x< 1, 0, x = 1, Решение

Выполним произвольное (T) - разбиение:

[°Д] : ⁰ = ^x0 < ^x1 < ^x2 < ... < ^x_k < ^x_k+1 < ... < ^xn-1 < ^xn =¹.

Рассмотрим:

1 n 1

[0,1].

на

V (f, T ) = SI f (Xk+1)-f (Xk )|

=к=0

= | f (x)- f (x0)|+| f (x₂)- f (x1 )| + | f (x)- f (x₂)| +...

+ | f (xn-1)- f (xn-₂)| + | f (xn)-f (xn-1 )| =

= |-7 + (3x₁ +1) + |(3x2 + 1)-(3x1 +1)| + |( 3x, +1)-( 3x₂ +1) +...

+ |( 3xn-1 +1)-( 3xn-2 +1) + |0-(3xn-1 +1) = = 7 -3x₁ -1 + 3x₂ -3x₁ + 3x₃ -3x₂ +... + 3x_n-1 -3x_n-2 + 3x_n-1 +1 = = 7 - 6x₁ + 6x_n-1. Это значение будет увеличиваться при

x ® +0, x_n-1 ® 1 - 0. Тогда V( f) = ^SUP(7 - 6x₁ + 6x_n-1) = 13

.

Задачи к главе 3

1. Доказать непрерывность функции f (x) = x² в точке x = 1 по Коши, Гайне и Бэру.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = x² - 5x + 7 на множестве X = [0,1] U [4,5] U {7} .

3. Какова мощность множества точек разрыва функции Di (x) ?

4. Построить функцию, непрерывную в т. x₀ = 0 , и

разрывную в остальных точках прямой.

5. Построить функцию, непрерывную в точках x = m, mе Z, и разрывную в остальных точках прямой.

6. Построить какую-либо функцию 1-го класса Бэра.

7. Построить какую-либо функцию 2-го класса Бэра.

8. Найти полную вариацию функции

'x-1, xе [0,1), f (x) = J5, x = 1,

-x + 3, xe (1,2].

9. Установить равномерность или неравномерность сходимости функциональной последовательности

nx

f (x) = на множестве X = [0,1].

^nV ' 1 + n + x ^{L J}