§3. Открытые множества

Определение

Множество G называется открытым, если все его точки внутренние.

Таким образом, G открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью: G = Int G. Примеры.

1. (a, b) открыт в R;

2. [a, b) не открыт в R: x = aе [a, b) - невнутренняя;

3. круг x + y¹ < r² открыт в R²;

4. множество из изолированных точек, в частности, конечное - не открыто.

Свойства открытых множеств 1⁰. Все пространство Rⁿ открыто.

• Все его точки внутренние ◄. 2⁰ . 0 открыто.

• Нет невнутренних точек ◄.

3⁰. Объединение произвольного (непустого) семейства открытых множеств есть открытое множество.

• Пусть G₀ = u ^jG.j, IФ0, G_t - открыты "iе i. Тогда

возьмем "х е G₀ и покажем, что это внутренняя точка G₀. x₀ е G₀ ^ 3i₀ е I: x₀ е G_i0. Поскольку G_i0 открыто, то x₀ е V (x₀) с G_i0 с V (x₀) с G_t = G₀ ^ x₀ - внутренняя точка G₀. В силу произвольности x₀ , все точки G₀ внутренние и оно открыто ◄.

o

40. Ш (x0, r) есть открытое множество.

o

• V/е Ш (x0, r) покажем, что y - внутренняя точка этого шара. р( x0, y) < r. Обозначим р( x₀, y) = r* < r.

Выберем r** < r- r*. Пусть zе Ш (x₀, r"). Имеем:

р(x,z)<р(Л0,y) + р(y,z)< r* + r* = r* + (r-r*) = r,

следовательно,

o I \ o o

Ш(y, r")с Ш(x₀, r), т. е. y - внутренняя точка Ш(x₀, r)

и он является открытым множеством ◄. 5⁰. IntX есть j G_i.

G_t с X

o

• 1. Vx₀ е IntX ^ x₀ е Ш(x₀, r) с U G_t, ибо этот шар есть

Gi с X

открытое множество, содержащееся в X. Значит, IntX с j G,.

G_t с X

2. Vx0 е j G , ^ x₀ е G,₀ с X ^ x₀ - внутренняя точка G_i0,

G, с X

т. к. G_i0 как открытое множество состоит только из внутренних

o

точек ^ x₀ е Ш (x₀, r) с G с X ^ x₀ - внутренняя точка X ^ x₀ е IntX и j G с IntX.

G_t с X

2. Тогда IntX = j Gi

G, с X

6⁰. IntX есть открытое множество.

• Вытекает из 5⁰ и 3⁰ ◄.

7⁰. IntX есть max открытое множество, содержащееся в

X.

• IntX = j G,, а это объединение включает все G_t с X ◄.

G_t с X

8⁰ . Пересечение конечного семейства открытых множеств открыто.n

► Пусть G₀ = п G, G_t - открыты, i = 1 ■ n. "0 e G₀ ^

i=1

o

^ AO e G_t "i = 1 ■ n. Тогда л e Ш (л0, r )с G , i = 1 ■ n.

o

Положим r₀ = min {rj, r₂,..., r_n}, r > 0. Получаем Ш (ло, r₀ )с G_t

n

"i = 1 ■ n ^ ло e п G_t = G₀. Все точки G₀ внутренние, и оно

i=1

открыто ◄. Замечание

Пересечение бесконечного, в частности, счетного семейства открытых множеств, может не быть открытым.

Пример

^ f 1 1 ^ R, u i ,— i ={0} не открыто.

m=1 ^ mm)

Тем не менее, пересечение счетного семейства открытых множеств есть множество, важное в современном анализе, оно имеет свое название и обозначение. Определение

Множество, являющееся пересечением счетного множества открытых множеств, называется множеством типа G₅ .

В частности, взяв X = п G_t, G_t = G"i e N, получаем, что

i=1

открытые множества тоже имеют тип G₅ .

Перейдем ко второму важному классу множеств.

§4. Замкнутые множества

Определение

Множество F называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения: F с F.

Поскольку всегда F з F, то F замкнуто ^ F = F.

Примеры

1. [ a, b ] замкнут в R;

2. [ a, b) не замкнут в R: x₀ = b - точка прикосновения, не

входящая во множество;

3. множество, состоящее только из изолированных точек, в частности, конечное множество, замкнуто.

Свойства замкнутых множеств, замыканий и предельных множеств.

1⁰ . F замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение с F = G = Rⁿ \ F открыто.

► 1) Пусть F замкнуто. Рассмотрим возможные случаи.