§ 9. Класс измеримых множеств

Здесь мы укажем на измеримость ещё некоторых типов множеств, в дополнение к уже известным замкнутым и открытым.

Теорема 1

Ограниченное счетное множество измеримо и имеет меру нуль.

Доказательство

Обозначим А_к ={ x_k ] . А_к измеримо и mA_k = 0 .

А = u А_к, А_к п А =0 при к ф i. Тогда mA = 0.

_k=1 ^{k k i}

Теорема доказана. Теорема 2

Ограниченное множество типа G_d или F_s измеримо. Доказательство

Если А есть множества типа F_s и ограничено, то слагаемые

F ограничены и замкнуты ^ измеримы. А тогда измеримо и A.

Для Gs можно ввести интервал Ad А, тогда

А = п (A п G_t), A п G_t - измеримы и А - измеримо.

i=1

Теорема доказана. Теорема 3

Семейство всех ограниченных измеримых множеств имеет мощность f = 2^c. Доказательство

f = 2^c есть мощность булеана b( R), поэтому X < 2^е. Обратно, возьмем Канторово множество F₀. Его мощность равна c, мера нуль. Обозначим S = b(F₀). Подмножество множеств меры нуль имеет, во всяком случае, внешнюю меру нуль ^ оно измеримо. Тогда S e X, но S = c, тогда X < 2^е.

В итоге X = 2^c. Теорема доказана.

Построенная таким образом мера была введена А. Лебегом и называется мерой Лебега. Теория меры по Лебегу не решила всех вопросов, т. к. можно построить ограниченное неизмеримое множество.

Пример

'2^;2 _

E: ^ х- /е Q. Легко проверить, что это эквивалентность.

/ E и из каждого класса

11

Возьмем фактор - множество

22

эквивалентности возьмем одно и только одно число. Обозначим полученное множество через A .

и введем на нем бинарное отношение

Возьмем

Перенумеруем точки множества С|_-И] = (г_п)_ieN, r₀ = 0.

Обозначим A_k = A + r_k (сдвиг). A_k П A = 0 при k Ф i. A_k конгруэнтны между собой ^ внутренние и внешние меры их одинаковы соответственно. Обозначим

k=1

m* A_k = m* A = a, m* A_k = m* A = 0. Тогда ^{1 1}

с U A_k, отсюда

22

1 1 '2^;2

1 = m^*

С

3 = m*

3 3 '2^;2

Отсюда

< Z m* Ak =b+b+b+... ^ b> 0.

k=0

другой стороны, u A_k с

3 3 '2^;2

k=1

> Zm*A _k =a+a+ _a+... ^ a = 0.

k=

1

a> b. Значит, m*A< m*A и A неизмеримо. Следовательно, имеет место следующий результат.

Теорема 4

Существуют ограниченные неизмеримые множества (аналогично поступают с произвольным ограниченным множеством A , таким, что mA > 0 ).

Теорема 5

Каждое измеримое множество положительной меры имеет неизмеримое подмножество.

Отсюда можно сделать вывод, что Лебеговская мера не решила всех проблем, и это верно. Но, с другой стороны,

построение меры такое, что mG = Z m (a_i ;Д) его

i

составляющих интервалов называется регулярным. Можно доказать, что всякое регулярное построение меры («легким» способом) приводит к тому, что /lA = mA для всякого измеримого A. И это, очевидно, оправдывает лебеговскую теорию меры

.

§ 10. Сходимость почти всюду

Мы уже рассматривали два вида сходимости функциональных последовательностей: простая поточечная и равномерная. Введем следующий тип сходимости.

Пусть X с R, X ф 0, на X задана функциональная

последовательность (f_n (x)) , X измеримо по Лебегу. Говорят, что некоторое свойство P(x) выполнено почти всюду на X, если мера множества Y = {xе X: P(x)} равна нулю.

Пример

x² > 0 почти всюду на [-1;1]: Y = {0}, mY = 0.

В частности, применим это понятие к сходимости

последовательностей.

Определение

Последовательность ( f_n (x ))_neN называется сходящейся к f0 (x) почти всюду на X, если

Y = { х е X : f_n ()®_n®_¥ f₀ ( )} имеет меру нуль. Запись:

x

— x ф 0

п . Тогда f_n0, т. к. Y = { 0}

fn - ® fi.

Пример

X = [-1;1], fn (x ) =

1, x = 0

и mY = 0 .

Очевидно, имеет место такое соотношение трех типов сходимости функциональных последовательностей:

равномерная простая поточечная почти всюду. Или на диаграмме

:

Таким образом, «самая сильная» - это равномерная, «средняя» - простая поточечная, «самая слабая» - почти всюду. Далее мы введем ещё некоторые виды сходимости.