3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.

1(T)®0

a

Задача 2

b

Вычислить по определению (R)J xdx.

a

Решение

Выполним произвольное (T) - разбиение [a, b].

b

Поскольку f(x) - x непрерывна на [a, b], то 3(R)J xdx и

a

lim f(T) не зависят от выбора точек c, e [ x,, x,,,]. Возьмем

l(T)®0 ^{k k k+1}

_- ^xk + ^xk+1 ^{ck -} 2 .

^n-1 _x + _x i ^n-1 i Sr(T) - Z(xk+1 - xk) -1Z(x2+1 - x2) - 1(b² _ a²).

k-0 ^{2 2} k-0

²

Задача 3

1

Вычислить (S) | x² d ( x³ +1).

0

Решение

Поскольку f(x) = x непрерывна на [a, b], а g (x) = x³ +1 монотонна ^ ФОВ, то интеграл существует.

3g (x) = x², которая интегрируема по Риману на [0,1]. Имеем:

(S) j x d(x³ +1) = (R) j x •(x +1) x dx^:

0

1

1

5

^{1 1} V⁵

0

0

(R)j x Xdx = (R)j x⁴dx = —

0

Задача 4

Интегрируема ли по Риману на [a, b] функция ограниченной вариации?

Решение

ФОВ имеет на [a, b] не более чем счетное множество точек разрыва. Это множество имеет меру Лебега нуль. Следовательно, ФОВ непрерывна почти всюду на [a, b] и в силу теоремы Лебега, интегрируема по Риману.

Задача 5

f1, x е Q, 1

f (x) = <! _- где xе [0,1]. Вычислить (L)j f(x)dx.

I-1, xе Q,

0

Решение

f(x) измерима на [0,1] и ограничена. Действительно, |f (x)\ £ 1"xе [0,1].

[0,1], а < -1,

С^0,1]^{, а} = ^-1,

^0,1], -1 < а < 1, 0, а > 1.

Поэтому $(L)J f(x)dx. f(x) ~ (-1) на [0,1]. Имеем:

0

X ( f > а)

измеримо.

1 1 1 (L)J f(x)dx = (L)J(-1)dx = (tf)J(-1)dx = -x0 = -1.

0

0

0

Задача 6

Суммируема ли на X = (1,2) функция f(x) = . ?

V x -

1

Решение

1

lim , =- = +¥, f (x) неограниченна на X. Она также

ч®1+

0

неотрицательна. Рассмотрим срезку.

n, x е | 1,1 + Д

-

[ f (x)]n

1

x е

1 ^^,2 |. n

Интегралы от срезок:

r 13 3

( L) J[ f (x)]n dx = (n(1 + —) - n) + (- - —)

2 2n² 2 n²

$ lim (L)J[ f(x)]n dx = lim (³ = ³ = [L]J f(x)dx.

n®+¥ j n®+¥ 2 n 2

XX

32

Таким образом, f(x) е L(1,2)

.

Задачи к главе 3

и

1. Вычислить по определению (R)J x² dx.

a b

2. Вычислить по определению (R)Jcos xdx.

3

3. f ( x) -

   -x, x e Q?

   Tx • ^{x e Q}-

   x³, xe Q. 1

   Вычислить (S) J xdg( x), g( x)

5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)

0

6. Суммируема ли на [0,1], f (x) - — ?

0. x --1,

1. -1 < x < 2,

-1, 2 < x< 3.

4. Интегрируема ли по Риману на [0,1] функция: 2, x e Q,

x

6. 0, x - 0, h •^x *⁰?

   Вычислить (L) Jx³ dx, х - {1} .

8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx

9. Вычислить [L] J

(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций

В этой главе мы будем изучать суммируемые функции с более общей точки зрения - рассматривать их множество в целом с точки зрения тех операций и отношений, которые в этом множестве вводятся. Поскольку эквивалентные функции имеют много общих свойств, в частности, одинаковые значения интеграла Лебега, то мы не будем различать их, а считать различными формами представления одной и той же суммируемой функции. С формальной точки зрения рассматривается фактор - множество L(X)/ E, где E - отношение эквивалентности функций. Это не создает трудностей, а наоборот, дает удобства: можно выбрать форму представления данной функции, наиболее подходящую в данной задаче. Ситуация чем-то напоминает ситуацию с

1 5 50

обыкновенными дробями:—, — формы представления

одного и того же рационального числа и мы можем выбрать любую.

Вначале мы напомним некоторые сведения из курса алгебры и геометрии, а также введем некоторые новые понятия из современного анализа, необходимые для полноценной характеристики множеств суммируемых функций, ограничиваясь необходимым минимумом.