§2. Специальные точки множеств

Пусть x₀ е Rⁿ, Xс Rⁿ, XФ0 .

Рассмотрим важные соотношения между точкой x₀ и множеством X .

П 1. Внутренние точки. x₀ называется внутренней точкой X, если она входит в X вместе с некоторой своей окрестностью: x₀ е V(x₀) с X.

Пример

X = ( 0,5] |J{7} на R.

_д / / j / /

О

О 5 ⁷

x₀ = 1 - внутренняя для X: 1 е (0,9;1,1) с X.

x₀ = 12 - невнутренняя для X: 12 е X.

x₀ = 0 - невнутренняя для X: 0 е X.

X = 5 - невнутренняя для X: "e> 0, (5 -e,5 + е)ё X, ибо 5 + eеX,еф 2.

X = 7 - не внутренняя для X: "e > 0,(7 - e, 7 + e) ё X. Итак, все внутренние точки X входят в X, но не всегда x₀ е X есть внутренняя точка X. Точки, не входящие в X, внутренними для X не являются.

Множество всех внутренних точек называется внутренностью данного множества, или его ядром. Обозначение

o

IntX, X

Для X = (0,5] J{7} , IntX = (0,5).

П 2. Внешние точки. x₀ называется внешней точкой для X, если она внутренняя для его дополнения. Множество всех таких точек называется внешностью множеств. Для X = (0,5)u{7} внешностью X есть множество (-¥, 0) u (5,7) u (7, +¥).

Внешние точки в множество не входят.

П 3. Граничные точки (по-украински: межов^. Пример показывает, что есть точки (в примере это 0,5,7), которые не являются внутренними ни для X, ни для с X. Они тоже важны.

x₀ называется граничной точкой X , если в каждой ее окрестности есть и точки X , и точки его дополнения. Множество этих точек называется границей (на украинском языке - межа) множества. Обозначение: F_rX .

Для X = (0,5]u{7} , X = (0,5]u{7}, F_rX = (0,5]u{0,5;7} . Пример показывает, что граничные точки могут входить в X , могут и не входить. Соотношение между X и F_rX различны:

1. X = [0,1], F_rX = {0,1} с X.

2. X = (0,1], F_rX = {0,1} ё X, F_rXп X, X = (0,1), F_rX = {0,1}, F_rXп X = 0.

П 4. Изолированные точки. x₀ называется изолированной

точкой X , если она имеет окрестность, в которой, кроме нее, нет других точек X . Итак, изолированные точки всегда входят в X.

Для X = (0,5) u {7} изолированной будет только x₀ = 7. X может не иметь изолированных точек: X = (0,1). X может иметь часть точек изолированными:

X = [0,1] u {3}.

X может состоять из изолированных точек X ={1,2,3}.

Каждая изолированная точка граничная: в X входит она сама, в cX входят другие точки указанной окрестности. Изолированные точки - не внутренние и не внешние.

П 5. Предельные точки. x₀ называется предельной точкой X , или точкой сгущения, или точкой накопления, если в каждой ее окрестности есть точка x* е X, x* Ф x₀. Другими словами,

каждая окрестность V (x₀) содержит бесконечное множество

точек X . Множество предельных точек называется предельным, или производным множеством. Обозначение: X'. Для X = (0,5)U{7} , X' = [0,5]. 0е X', так как в

(-e,e), e> 0 справа содержится бесконечное множество точек

из X. 7 е X': в достаточно малой окрестности т. 7 из X есть только она сама. Как показывает пример, не все точки X могут входить в X'. С другой стороны, возможно, что в X' входят точки, не принадлежащие X. Изолированные точки в X' входить не могут. Все внутренние точки - предельные, так что Int X с X'. Граничные точки могут входить в X', могут не входить (если они изолированные). Граничная точка либо предельная, либо изолированная.

Для x₀ е X есть 2 и только 2 возможности:

1. "V(x₀) имеет точку x* е X, x* Ф x₀ тогда, x₀ предельная.

2. $ V(x₀): в котором, кроме x₀, нет других точек из. Тогда x₀ = изолированная.

Эти варианты несовместимы. Может быть, что X' = 0, если X состоит только из изолированных точек. Например, X = {1,2,3}.

П 6. Точка прикосновения. x₀ называется точкой прикосновения, если в любой ее окрестности есть точка из X .

Множество этих точек называется замыканием множества Х. Обозначение: X или [ X].

Точки прикосновения похожи на предельные, но их определение «более либерально»: не требуется, чтобы точка из окрестности была отлична от x₀ . Поэтому предельная точка

является точкой прикосновения. X = [0,1] j {3} ,3 е X, но

3 е X'.

Также X с X, т. к. можно взять саму x₀ е X. Изолированные точки входят в X, но не входят в X'. Граничные точки входят в X: F_rX с X, т. к. имеют в любой своей окрестности точки из X .

Для X = (0,5] j{7} , X = [0,5] j{7} .

Установим связь специальных точек с предельными переходами.

Теорема 1

^Х0 ^{е X} Хп )пеМ ^{: Х}п ^е X ^xn ® ^Х0 .

o

1. Необходимость. Пусть x₀ е X. Vпе М в Ш(Л0,1/п) выберем x_n е X. Получаем (x_n) , р(x_n, x₀ )< 1/n ® 0, т. е. x_n ® x₀ при n ® +¥ .

2. Достаточность. Пусть $(x_n) :x_n е X, x_n ® x₀. Тогда

o

"ше N$n₀ е М: n> n0 ^ x_n е Ш(m). mе N возьмем

o

достаточно большим для того, чтобы Ш(Л0,1/m) вошел в VV(x₀) наперед заданную. Тогда VV(x₀) имеет точку x_n е X ^ x₀ е X.

Отсюда получается важный результат.

Теорема 2

Замыкание множества состоит в точности из всех пределов всех сходящихся последовательностей точек этого множества. Аналогично для предельного множества.

Теорема 3

x₀ е X' ^ существует последовательность попарно различных точек из X , сходящаяся к x₀ .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1, только при построении (x_n )_n__N нужно в каждом шаре

Ш(Л0,1/п) брать x_n отличным от всех предыдущих. Это возможно, т. к. "V (x₀) имеет бесконечное множество точек из X.

Теорема 4

X' состоит в точности из всех пределов всех сходящихся последовательностей попарно различных точек множества X .

В классическом анализе известна важная теорема Больцано - Вайерштрасса о том, что каждая ограниченная последовательность имеет собственно сходящуюся подпоследовательность. С учетом теоремы 3 получаем вариант этой теоремы в терминах специальных точек.

Теорема 5. (Б. Больцано - К. Вайерштрасс).

Каждое бесконечное ограниченное множество имеет предельную точку. Замечание.

Условия бесконечности и ограниченности необходимы. Пример 1

X = {1,2,3,4,5} в R. Ограничено, но конечно, X' = 0. Пример 2

X = N в R. Бесконечно, но неограниченно, X' = 0.

Перейдем к изучению двух важнейших классов множеств - открытых и замкнутых.