5. X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.

При p = 2 получаем неравенство Коши в L²( x). Доказанные неравенства дают возможность ввести норму в

L^p (x).

Теорема 7

I

Функционал j( f(x)) = ([L\|\ f(x) \ dx)^p есть норма в

x

L^p (x).

Доказательство

1. Неотрицательность. \ f(x) \> 0 ^ j( f) > 0, "f e L^p(x) .

2. Отделимость. Если f(x) ~ 0, то \ f(x) \~ 0 , \ f(x) \^p~ 0 и j( f) = 0. Если j( f) = 0, то \ f(x) \^p ~ 0 ^ f(x) ~ 0 .

3. Абсолютная однородность.

1 1 P I p ( Г л p I^p

j(1f) = ([L]{\1 + (x)fdx 1 = \[L\\\1\^P \ f(x)\^p dx

x у v X

1

(\1\^p)iI [L]{\ f(x) \^p dx 1^p =\1\j(f).

'V|[ l

X

4. Субаддитивность.

j( f + g) < j( f) + j(g) и есть неравенство Минковского. Теорема доказана.

Итак, \\ f(x)\\= ([L]J\ f(x)\^pdx)^p.

X

Аналогично L²(X), можно доказать, что L^p(X) банахово. Сходимость по этой норме называется сходимостью в среднем порядка p. Запись: f_n(x) ——® f₀(x) . Эта норма не эвклидова.

Непрерывный линейный функционал в L^p (X), при p > 1 имеем вид

l( f (x)) = [ L]J f( x) g( x),

X

f_n (x) —— f₀(x) n®m[L]j fn(x)g(x)dx

ⁿ X

[ L]J f (x) g( x)dx, g( x) e L^q (x).

где g(x) - любая функция из L^p(X); q - сопряжено с p. Слабая сходимость имеет вид:

X

f (x) g ( x)dx g (x). L (

X

Сопряженным пространством к L^p(X), p > 1 является L^q (x),- + - = 1.

p q

Таким образом, имеем целую шкалу пространств, суммируемых функций: L^p(X),1 < p < +¥.

В этой шкале особое место занимают I,( X) = L( X) и L²( X). Для p = 1, q = +¥, для p = 2, q = 2. Пространство L²( X) самосопряженное: (L²(X))' = I²(X). Для I¹(X) сопряженного среди I^p(X) нет, (I¹(X))' = I^¥ (X) - пространство измеримых ограниченных функций. Интересно, что аналогичная шкала существует среди пространств последовательностей.

§ 8. Пространства последовательностей 1 p

Пусть p е R, p > 1. Обозначим через l_p множество последовательностей. l _p представляет собой вещественное

линейное пространство относительно обычных действий сложения последовательностей и их умножения на числа.

l _p также является эвклидовым пространством: если

a = (a_n), п е N, b = (b_n), п е N, то ab = £ a_kb_k является

k=1

положительно определенным скалярным умножением.

a ± b ^ £ a_kb_k = 0. Рассматриваются все условия, связанные с

k=1

ортогональностью.

Норма в l_p вводится по формуле || x ||= (£| х_к |^p)^p.

k=1

Пространства l _p - банаховы.

Из них гильбертовым есть только 1₂ - его норма эвклидова. Общий вид непрерывно линейного функционала в

пространствах 1_р, при p > 1, будет 1(a) = £ a_kb_k, где

k=1

b = (b_n)_n=_N е L, здесь q - сопряженный показатель для p. Сопряженным к l_p есть l_q.

Общий вид линейного непрерывного функционала в l₁:

1(a) = Z a_kb_k , b = (b_n)_neN - ограниченная последовательность.

k=1

Сопряженным с 1₁ является пространство m ограниченного последовательностей.

Пространство 1₂, как и L²(X), самосопряженное.

Имеем две шкалы банаховых пространств, L^p(X) и 1 . В

них L²(X) и 1₂ - особые, они гильбертовы.

Оказывается, эти пространства очень тесно связаны между собой.