§4. Последовательности функций

Рассмотрим функциональную последовательность ( f (х))_геМ,

заданную на множестве X с R.

Нам придется в дальнейшем рассматривать несколько типов сходимости последовательности функций. Наиболее простая из них - простая поточечная сходимость.

f₀(х) = lim f_n(х) означает, что lim f_n(х₀) = f₀(х₀) "х₀ е X.

Таким образом,

"^e> ⁰ ЗпзСе ^х0⁾:ⁿ > ⁿ0 ^fn^(х0⁾ - ^f0^(х0⁾ l< ^e"^x0^{е X} .

Более сильное условие представляет собой равномерная сходимость, когда n₀ зависит только от f и годится для всех x е X:

"e> о 3n0(f): "хе XLn > n₀ f_n(x) - f₀(x) |< e.

Для простой поточечной сходимости будем использовать обозначение f_n(х) ® f₀(х), для равномерной f_n(х)® f₀(х) . Очевидно, простая поточечная сходимость всегда вытекает из равномерной, а обратное неверно в общем случае. Равномерность сходимости также зависит от множества X.

Примеры

1. П(х) = X = (0; +¥).

2 х + n

"хе (0; +¥), lim —¹— = 0, поэтому простой поточечный ⁿ®^¥ 2 х + n

предел последовательности есть функция f₀ (х) = 0 на X.

Пусть | f_n (х) - f (х) | = —¹— <¹ < e . Если взять n > — , то

2 х + n n e

| f_n(х) - f₀(х) |< e для всех хе X . Сходимость равномерная.

0;2

2. f_n (х) = х_п, X --

. Очевидно, f_n ( х) ® 0 .

Поскольку х^п < -1 < e, то сходимость равномерная.

3. f (х) = х_п, X[0;1], limЛ0¹ = 0, при хе[0;1) и limЛ0¹ = 1,

при х₀ = 1.

Сходимость неравномерная.

Этот пример, кроме всего прочего, показывает, что простой поточечный предел последовательности непрерывных функций может быть разрывной функцией. Равномерная сходимость в этом плане лучше

.

Теорема 1

Равномерный предел последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция. Доказательство

Обозначим lim f (x) = f₀(x) на X.

В силу равномерности сходимости,

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2

КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3

а\в 15

( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23

2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37

Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37

склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38

3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38

. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77

х = щ, k = 1,2,...,n 101

(L) J [ f\dx = 0 ^ [ L ]J f (x)dx = 0. 202

^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 216

= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 245

[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 264

|f>(x) - f,(х)| <| f»(x)- fn(x) + | fn(x)- fn(x,)| +

£££ + | ^fn⁽xO^{- f}0⁽x^l < 3 + 3 + 3 = ^£.

Это значит, что f₀ (x) непрерывна в точке x₀, Vx е X Теорема доказана.

Теорема 2 (Э. Хелли, Е. НеШ)

Если последовательность функций (f_n(x))_nEN на [a; b]

равномерно ограничена: | f_n(x)| < H Vпе N, и полные вариации

b

ограничены тем же числом: V( f_n) < H Vп е N, то существует подпоследовательность ( f (х))_kеN, поточечно сходящаяся на [a; b] к f₀(х) - ФОВ на [a; b].

Примем эту теорему без доказательства. Доказательство можно найти, например, в [1].