§ 3. Мера Жордана

Проблема построения теории меры важна и сама по себе, и в теоретическом, и в практическом плане. Но особенно она важна в теории интеграла. Необходимость обобщения интеграла Римана и заставила математиков заниматься теорией меры (хотя не только это). Французский математик Камиль Эдмон Мари Жордан, Jordan (1838-1922) разработал теорию меры множеств, обобщающую геометрические понятия. Изложим основные положения этой теории в обзорном порядке. Пусть X с R, X ^0, X -ограничено.

Тогда 3a, bе R: X a, b]. Выберем a, bе Z, это всегда возможно. Пусть b - a = k е N. Разобьем [a, b] на k равных

частей. Это сегменты ранга 1. Относительно множества X они есть двух типов.

1. Заполненные сегменты. Состоят исключительно из точек из X . Обозначим сумму их длин через l₁ .

2. Включающие сегменты. Имеют хотя бы одну точку из X . Их сумму длин обозначим L₁ .

Очевидно, l₁ < Ц. Разделим каждый сегмент ранга 1 на S равных частей. Например, S = 10. Определим заполненные и включающие сегменты ранга 2. Вычислим l₂ и L₂ . Продолжим процесс. Получим две последовательности неотрицательных чисел: (l_n )_eN, (L_n )_neN . Они имеют названия: нижняя и верхняя последовательности Жордана для X. Очевидно, они монотонны: (l_n)_neN неубывающая, (L_n)_eN невозрастающая.

(l_n )_eN ограничена сверху, например, числом b- a; (L_n )_neN

ограничена снизу, например, нулем. Тогда З lim l_n = l₀ е R, З lim L_n = L₀ е R. l₀ называется внутренней или

нижней мерой Жордана множества X и обозначается mes* X;

L₀ - внешняя или верхняя мера, mes*X. Итак, поскольку l < L Vn е ^, то mes* X = mes* X.

n n ' *

Если mes_* X < mes^* X , то X называется измеримым по Жордану, а общие значения его внутренней и внешней мер называются мерой Жордана множества X . Запись: mesX .

Примеры

1. X = [0,54;3,75)u{5,22} .

0,54 3.75 5,22

0 1 2 3 4 5 й

Здесь [а, б] = [0,6], k = 6. Сегменты 1-го ранга заполненные: [1,2] и [2,3], lj = 1 +1 = 2. Включающие сегменты 1-го ранга: [0,1], [1,2], [ 2,3], [3,4], [5,6], L = 5. Примем 5 = 10.

Определяем сегменты 2-го ранга (до десятых). Заполненные: [0,6;3,7] - в сумме, l₂ = 3,1. Включающие (в сумме):

[0,5;3,75] u [5,2;5,3] L = 3,25 + 0,1 = 3,26.

Переходим к сегментам ранга 3. Заполненные: [0,540; 3,749], l₃ = 3,209 . Включающие:

[0,540;3,750] u [5,220;5,221], L = 3,21 + 0,001 = 3,211.

Продолжим процесс. Сегменты ранга n: |^0,54; 3,75 -10^-

заполненные, l_n = 3,21 - 10^-n;

[0,54; 3,750] u [5,22 -10^-n; 5,22 +10^-n ] - включающие, L_n = 3,21 + 2x10^-n. mes* X = lim (3,21 - 10^-n ) = 3,21,

mes* X = lim (3,21 + 2 x10^-n ) = 3,21. Итак, X измеримо по Жордану, mesX = 3, 21

.

2. Канторово множество f0.

Сегментом ранга 1 есть [0,1]. Заполненных сегментов ранга 1 нет, включающих - [0,1] l₁ = 0, L = 1. Возьмем 5 = 3.

2

Ранга 2: заполненных нет, включающих - 2. А = 0, L = —.

^{2 2} 3

9

Продолжим для 5 = 3 .

4

Ранга 3: l₃ = 0, L = —:

0,1 9

8,1

9

. n-1

и т. д. l_n

. Тогда mes* F₀ = 0, mes* F₀ = 0 . F₀

* Ln = (3

	2 1		2 7
	9^, 3		3 ^, 9

измеримо по Жордану. mesF₀ = 0.

3. Q₀₁]. Поскольку любой промежуток [ a, b] сколь угодно

малый, содержит как рациональные, так и иррациональные числа, то l_n = 0, L_n = 1. С этого следует, что

mes*Q₀₁] = 0, mes* Q₀₁] = 1 и это множество неизмеримо по

Жордану.

4. Аналогично для множества иррациональных чисел

1.

[0,1]

отрезка [0,1]: : mes*I^ = 0, mes*I_{ I_[0,1] неизмеримо по Жордану. Замечание

Обозначим A_n - включающие сегменты, B_n - заполненные, ранга n. Множество A_n \ B_n состоит из промежутков, содержащих F_rX. Общая длина промежутов, составляющи

х

A_n \ B_n, равна L_n - l_n . При n ® +¥, L_n - l_n ® mes*F_rX. Итак, X измеримо тогда и только тогда, когда mes* F_rX = 0.

Отметим без доказательства простейшие свойства меры Жордана:

1°. Если X, Y измеримы, X с Y, то mesX < mesY. 2°. Если X, Y измеримы, то также измеримы X u Y, X п Y, X \ Y.

3°. Если X, Y измеримы, Xп Y = 0, то mes(X u Y) = mesX + mesY.