Глава 3. Интеграл

§ 1. Интеграл Римана

Это тот определенный интеграл, который изучался в курсе математического анализа. Он введен О. Коши и обобщен Б. Риманом.

Пусть на отрезке [ a; b] задана функция f (x) . Сделаем (T)- разбиение [ a; b]: a = x < x₁ < ... < x_k < x_k+1 < ... < x_n-1 < x_n = b.

Обозначим Dx_k = x_k+1 - x_k. Выберем c_k e [ x_k, x_k+1 ]. Составим интегральную сумму Римана для f(x) на отрезке [ a; b ] по

n-1

данному (T) - разбиению: S_R(T) = ^ f(c_k)Dx_k .

k=0

Обозначим l(T) = max Dx_k (параметр разбиения).

k=0+(n-1)

Если 3 lim S_R(T) = I_R, т. е. "e> 03d > 0 : l(T) < d ^

1(T)®0 ^{7 R v 7}

^ | S_R(T) - I_R| < e, то число I_R называется интегралом Римана

b

для f(x) на отрезке [ a; b]. Запись: Ir = (R)\ f(x)dx.

a

Множество функций, интегрируемых по Риману на [ a; b ], обозначается Ri [ a; b].

Каковы условия интегрируемости по Риману? Необходимым условием является ограниченность f(x) на отрезке [ a; b]. Это практически очевидно. Если f(x) не ограничена на отрезке [ a; b] , то она не ограничена хотя бы на одном частичном сегменте [ x_k; x_k+1 ]. Зафиксировав c_t при i Ф k за счет выбора c_k, можно сделать | S_R(T) | сколь угодно большим.

Это условие недостаточно. Функция Дирихле Di( x) ограничена на любом отрезке [ a; b]. Выбираем все c_k е Q, имеем

n-1

^ (71) = £1 -Axk = b - a .

к=0

_ n-1

Выбираем все c_kе Q, получаем S_R(72) = £0 • Ax_k = 0 .

к =0

Значит, $ lim S(T).

l(T)®0 ^/

Пусть f(x) ограничена на отрезке [ a; b]. Обозначим:

m_k = inf f (x), m_k = sup f (x) , w_k = m_k - m_k. Вводятся

^{[ xk; xk}+^{1 ]} [ xk; xk+1]

интегральные суммы Дарбу, верхняя и нижняя:

_ n-1 n-1 _

S(T) = £ mkAx_k , S(T) = £ m_kAx_k . Всегда S(T) < S(T) < S(T) .

k=0 к=0

При l(T) ® 0, S(T) ® I, S(T) ® I - нижний и верхний

интегралы Дарбу. Всегда S(T) < I < I < S(T). Равенство I = I есть необходимое и достаточное условие интегрируемости

n-1

f(x) . Его можно также записать в виде lim £ w_tAx_t = 0.

V / ^ l(T)®0 ^{k k}

Кроме этих двух, известных из классического анализа, укажем еще 2 критерия интегрируемости функции по Риману. Первый из них связан с мерой Жордана.

Теорема 1 (Дюбуа-Реймон)

Ограниченная на [ a; b] функция f(x) интегрируема на

[ a; b ] по Риману тогда и только тогда, когда "d > 0 множество A = {xе [a, b]: w( f, x) > d} измеримо по Жордану и mesA = 0.

Доказательство

1. Необходимость

Пусть f (x) е Ri[ a; b]. Допустим противное:

38₀ > 0 : mes*A_8o = g> 0. Тогда для отрезков ранга n, L_n > g.

n—1

Рассмотрим £w_kAx_k. Отрезки (T)-разбиения есть 2 видов.

k=0

1. [ xk, xk₊₁] n \ =0 .

2. [x,, x,₊₁] n \ Ф0.

Тогда вторая часть суммы £ ⁴со_кAx_k > 8₀g ^

n—1

^ lim £w_kAx_k > 8₀g> 0 ^ f (x) е Ri[a, b]. Противоречие.

^{1(T )}®⁰ k=0

2. Достаточность

Пусть "8 > 0 mes* A₈ = 0. Покажем, что при выполнении этого условия интеграл существует. Пусть 8 и g- произвольные положительные сколь угодно малые числа и W - некоторая система интегралов, покрывающая множество A₈, сумма длин которых меньше g. По условию такая система интегралов существует. A₈ замкнуто, выберем из W конечное подпокрытие K. Сумма длин интервалов семейства К тем более меньше g. Построим также (T) -разбиение [ a; b ], чтобы точками деления были все концы интегралов из K и чтобы часть [ a; b ], оставшаяся вне покрытия K (она замкнута и f (x) на ней непрерывна), была разбита новыми точками деления так, чтобы на [х_к, x_k+1] включающем x, x+₁, ко 2-й части - все остальные.

£ WAx < 8(b — a), £ WAx < w( f)g.

n-1

Имеем: Т w_iAx_i < d(b - a) + w( f)g, и может быть сделана сколь

i=0

n-1

угодно малой, тогда ^lim ^ wAx; = 0 и интеграл Римана

существует. Теорема доказана.

Второй результат связан с мерой Лебега и представляет собой самый удобный критерий интегрируемости по Риману.

Теорема 2 (А. Лебег)

Ограниченная на [ a; b] функция f(x) интегрируема по

Риману тогда и только тогда, когда она на [ a; b] непрерывна

почти всюду.

Доказательство