§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной

степенью

Пусть p е R, p > 1, L^p (x) означает множество всех функций, для которых [L]J| f(x)|^p dx <+¥. При p = 1 имеем, что

X

L¹(X) = L(X) . В эту шкалу входит и L²(X). Сразу же возникает вопрос, суммируемы ли на X функции L^p (X) при p > 1?

Теорема 1

При p > 1, L^p (X) с L( X) . Доказательство

Обозначим A = X(| f | < 1, B = X \ A). Суммируемость f (x)

на A следует из того, что при | f \ < 1, p > 1 будет | f (x)|^p < 1. Суммируемость на B - из неравенства | f(x)| < | f (x)|^p. Теорема доказана.

Ранее мы установили, что L²(X) есть подпространство в L(X). Верно ли это при других p > 1? Установим ряд результатов в этом направлении.

Теорема 2

f (x), g(x) e L^p ( X) ^ f (x) + g(x) e L^p ( X). Доказательство

Обозначим: A = X(| f | < | g|), B = X \ A. При xe A будет | f + g|^p < (| f | + | g|)^p < 2^p | g|^p, тогда [ L]J| f( x) + g( x) |^p dx < 2 ^p [ L]J| g( x) |^p dx < +¥ .

AA

Аналогично, для

xe B, [L]J| f(x) + g(x)|^pdx,2^p[L]J| f(x)|^p dx<+¥.

BB

Теорема доказана.

Теорема 3

le R, f (x) e L^p ( X) ^ l f ( X) e L^p ( X) . Доказательство

[ L]J| If (x) |^p dx =1[ L]^ f (x) |^p <+¥.

XX

Теорема доказана.

Итак, для L^p(X) с L(X) выполнен критерий линейного пространства. Таким образом, верна.

Теорема 4

L^p(X) - линейное подпространство L(X) . Тогда L^p(X) - эвклидово пространство со скалярным произведением f_g = [ L]J f (x)g(x)dx. Можно на нем рассматривать эвклидову

X

норму. Однако в L^p (X) принято вводить норму по-другому. Для ее введения подготовим необходимые результаты.

Пусть p > 1. Если — +¹ = 1, то q называется показателем,

p q

сопряженным с p.

q > 1, и можно наряду с L^p (X) рассматривать L^q (X) . Сопряженным с q есть p. p и q - взаимносопряженные.

Теорема 5

Выполняется неравенство Гёльдера: если p, q - сопряжены, f( x) е L^p (X), то

[L]J f(x)g(x)dx < I [L]J| f(x)|^p I^p I [L]J| g(x) |^{q 1 q}

X V X J V X

f ( x) g( x) е L^p ( X).

Доказательство

Рассмотрим вспомогательную функцию y( x) = x^a-ax, 0 <a< 1, 0 < x <+¥ .

y'(x) = a(x^a-1 -1), тогда y'(x) > 0 при 0 < x < 1,

y'(x) < 0 при x > 1.

Тогда y max = y(1) = 1 - a. Значит y(x) < 1 - a, при x > 0.

A

Отсюда x^a < ax + (1 - a), x> 0. Если A > 0, B > 0, x = —, то

B

получим A^aB^1-a = a A + (1 - a) B.

Пусть p, q - данные сопряженные показатели.

1 1 11 A B

Положим a = —, 1 -a = -, тогда A^pB^q < —+— . Это будет

p q p q

верно при A > 0, B > 0 .

Рассмотрим теперь данные функции f (x), g(x) .Если f ~ 0 v g ~ 0, то неравенство теоремы выполнено. Пусть f (x) ~ 0 a g(x) ~ 0 . При этом [L]J | f (x) |^p dx > 0,

X

[I]j"|g(x) |^q dx> 0.

Введем функции:

g ( x)

. ч f(x)

, h(x) =

[ I]J|g( x)|^qdx

^q

j( x) = ^v '

[I]J| f(x) |^pd

x

X

j(x)h(x)| £ jM +^

p q

j(x)h(x) е I( X), тогда и f(x)g(x) е I( X) . Очевидно, [I]|| j(x) |^p dx = [L]J| h(x) f dx = 1. Интегрируя последнее

XX

11

неравенство по X, имеем: [I] 11 j(x)h(x) | dx £ —+ — = 1.

x ^{p q}

Отсюда получится:

[I]|| f(x)g(x)| dx £ ^[I]|| f (x) |^pdxj^p ^[I]|| g(x) |^p j^q, поскольку |[I]|( f(x)g(x))dx|£[I]|| f(x)g(x)dx, то искомое

XX

неравенство выполняется. Теорема доказана.

Положим A = j( x) ^p, B = j( x)^q. Получим

Отсюда

При p = 2 ^ q = 2 неравенство Гёльдера превращается в известное неравенство Буняковского

.

Теорема 6

В пространстве L^p (X) выполняется неравенство Минковского.

([L]J| f(x) + g(x)|^p dx)^p < ([L]J| f(x)|^pdx)^p + ([L]J| g(x)|^pdx)^p.

X XX

Доказательство

При p = 1 неравенство, очевидно, верно. Пусть p > 1, q -

сопряженный показатель к p. Известно, что

p

f(x)g(x) е L^p(X) ^ f(x) + g(x) е L^p(x) . Тогда | f(x) + g(x) |^q

входит в L^p (X). В неравенстве Гёльдера заменим f(x) на

p

| f(x)|, g(x) на | f(x) + g(x)|^q.

Получаем [L]J| f(x) || f(x) + g(x) |^q dx<

X

1 1

• ([L]J| f(x)|^pdx)^p([L]J| f(x) + g(x)|^pdx)^q .

XX

Аналогично [L]J | g(x) || f (x) + g( x) |^q dx <

X

1 1

• ([L]J| g(x) |^pdx)^p([L]J| f(x) + g(x) |^pdx)^q .

Поскольку p = 1 + ^p ,

p p p

то | f + g |^p =| f + g || f + g |^q<| f || f + g |^q + | g || f + g |^q, получаем:

1

' p . ^^p[L]J| f + g |^p dx < I [L]J| f |^pdxl + + f[L\\\g\^Pdx)^p([L\J\ f + g\^Pdx\ .

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2

КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3

а\в 15

( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23

2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37

Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37

склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38

3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38

. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77

х = щ, k = 1,2,...,n 101

^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 206

= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 236

[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 255

+ f [L\\\g\^Pdx)^p([L\J\ f + g\^pdx\ .