ящика. В реальных системах снятие вырождения является более сложной проблемой.

E, [				h2	]
			8m a 2
12				[3,3,3]		невырожденное состояние
11				[3,1,1] [1,3,1] [1,1,3]		трехкратно
9				[2,2,1] [2,1,2] [1,2,2]
						вырожденные состояния
6				[1,1,2] [1,2,1] [2,1,1]		невырожденное состояние
3				[1,1,1]

Рис. 2.5. Энергетическая диаграмма электрона в трехмерном потенциальном ящике: [nx, ny, nz] – набор квантовых чисел, соответствующий данному энергетическому состоянию

Энергетическое состояние электрона в кулоновском поле ядра достаточно близко к ситуации нахождения электрона в трехмерном потенциальном ящике. Поэтому все закономерности, которые были получены, а главное, дискретность энергетических состояний, распространяются и на атом.

2.3.Квантово-механическая модель атома

2.3.1.Основное состояние атома водорода

Атом водорода представляет собой систему, состоящую из положительно заряженного ядра (протон – единичный положительный заряд +e) и одного электрона (единичный отрицательный заряд –e), т.е. электрон находится в кулоновском поле (рис. 2.6).

Потенциальная энергия точечного заряда в кулоновском поле определяется выражением

V =−ker2 ,

41

где e – единичный электрический заряд; r – расстояние между

электроном и ядром; k =	1	– константа в законе Кулона.
	4πε0

Тогда уравнение Шрёдингера для атома водорода принимает вид

2Ψ(x, y, z) + 8π2m (E + k e2 ) Ψ(x, y, z) = 0 . h2 r

Поскольку кулоновское поле сферически симметричное, для упрощения решения целесообразно заменить декартову систему координат полярной, в которой в качестве трех координат исполь-

зуются радиус-вектор r и два угла: ϑ (тета – угол между радиус-

вектором и осью z) и ϕ (фи – угол между проекцией радиуса-вектора на плоскостьxy и осью x) (рис. 2.7).

r	−e		z			ϑ
+e						r	y
		x		ϕ
Рис. 2.6. Атом водорода		Рис. 2.7. Связь между декартовыми (x, y, z)

исферическими координатами (r, ϑ, ϕ):

x= r sinϑ cosϕ, y = r sinϑ sinϕ, z = r cosϑ

Вобщем виде волновая функция в полярных координатах является функцией трех переменных: Ψ(r, ϑ, ϕ) . Поскольку единст-

венный электрон атома водорода находится в сферически симметричном поле ядра, следует ожидать, что решением, описывающим основное (невозбужденное) состояние атома водорода, будет сферически симметричная функция, не зависящая от углов Ψ(r) .

Учитывая, что r =x2 +y2 +z2 , можно произвести замену переменных в уравнении Шрёдингера:

2Ψ(x,y,z)=

∂2Ψ

+

∂2Ψ

+

∂2Ψ

,

∂x2

∂y2

∂z2

∂2Ψ(r)

=

∂

∂Ψ(r)

,

∂x2

∂x

∂x

42

∂2Ψ(r)

∂x2

∂Ψ(r)

=

∂Ψ(r)

∂r

,

∂x

∂r

∂x

∂r

∂ x2 +y2 +z2

1

2x

x

,

=

=

=

∂x

∂x

2

r

x2 +y2 +z2

∂Ψ(r)

=

∂Ψ(r)

∂r

=

x

∂Ψ

,

∂x

r

∂r

∂r

∂x

∂

∂Ψ(r)

1

∂Ψ(r)

x2

∂Ψ(r)

x2

∂2Ψ(r)

.

=

=

−

+

∂x

r

∂r

r3

∂r

r2

∂r2

∂x

Проведя аналогичные преобразования для координат y и z, просуммируем три полученных выражения:

2Ψ(x, y,z)=

3

∂Ψ(r)

−

x2 + y2 +z2

∂Ψ(r)

+

x2 + y2 +z2

∂2Ψ(r)

=

r

∂r

∂r

r2

∂r2

r3

=

∂2Ψ(r)

+

2

∂Ψ(r)

.

∂r2

r

∂r

Таким образом, уравнение Шрёдингера в полярных координа-

тах для основного состояния атома водорода [Ψ(r)] приобретает следующий вид:

∂2Ψ(r)

2

∂Ψ(r)

8π2m

ke2

2

+

+

2

E +

Ψ(r)=0 .

∂r

r

∂r

h

r

Решить уравнение Шрёдингера – значит найти набор возможных волновых функций электрона и соответствующих им значений энергий.

Для электрона в кулоновском поле решением уравнения Шрёдингера является сферически симметричная функция вида

Ψ(r)= A e−a r ,

где А – нормирующий коэффициент, а – постоянная величина, определяемая в ходе решения.

Для решения поставленной задачи первую и вторую производные предложенной волновой функции подставляют в уравнение Шрёдингера, определяют параметр а и значение энергии:

∂Ψ(r)	=−Aae−a r ,	∂Ψ2 (r)	=Aa2e−a r ,
∂r		∂r2

43

Aa2e−a r −	2	Aae−a r +	8π2m			ke2		Ae−a r =0 .
				2	E +
	r		h			r

Поскольку Ψ(r) = A e–ar ≠ 0, то

a

2

−

2a

+

8π2m

E +

8π2m

ke2

=0 ,

r

h2

h2

r

a

2

+

8π2m

E

=

1

2a

−

8π2mke2

2

2

.

h

r

h

Данное уравнение должно быть справедливым при любых значениях переменной r. А это возможно только в том случае, если левая часть равенства и выражение в скобках в правой части одновременно равны нулю:

a	2	+	8π2m	E =0	,	2a−	8π2mke2	=0 .
			h2				h2

Из второго уравнения определяют постоянную величину а:

a= 4π2mke2 . h2

Определив а, из первого уравнения определяют значение энергии электрона:

E =−2π2mk2e4 .

h2

Вычисление значения энергии основного состояния электрона в атоме водорода дает величину –13,6 эВ, которая хорошо совпадает с экспериментально определенной энергией ионизации. Полученное значение также совпадает с энергией электрона, находящегося на первой орбите (n=1) атома водорода по теории Бора.

	Из принципа нормировки следует, что коэффициент A=		1		.
			πa−3

Тогда волновая функция для основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид

	Ψ(r)=		1		e−a r ,
			πa−3

где a=4π2mke2 /h2 – постоянная величина.

44