Білет №1

1. Поняття та структура економіко-математичної моделі. Опорні плани задачі лінійного програмування. Під економіко-математичною моделлю розуміють концентроване вираження найсуттєвіших економічних взаємозв’язків досліджуваних об’єктів (процесів) у вигляді математичних функцій, нерівностей і рівнянь. Математична модель — це об’єкт, котрий створюється системним аналітиком для отримання нових знань про об’єкт-оригінал і відбиває лише суттєві властивості об’єкта-оригіналу. Математична модель об’єкта (процесу, явища) містить три групи елементів: 1) характеристику об’єкта, яку потрібно визначити (невiдомi величини), – вектор Y = (yi); 2) характеристики зовнiшнiх (щодо модельованого об’єкта) умов, які змінюються, – X (xi); 3) сукупність внутрiшнiх параметрів об’єкта – А. Множини параметрів X і A можуть розглядатись як екзогенні величини (тобто такі, які визначаються поза рамками моделі), а величини, що належать вектору Y, - як ендогенні (тобто такі, які визначаються за допомогою моделі). Математичну модель можна тлумачити як особливий перетворювач зовнiшнiх умов об’єкта Х (входу) на характеристики об’єкта Y(виходу), які мають бути знайдені.

Опорні плани ЗЛП Загальна лінійна економіко-математична модель економічних процесів та явищ — так звана загальна задача лінійного програмування подається у вигляді:

(2.1)

за умов:

(2.2)

(2.3)

Отже, потрібно знайти значення змінних x₁, x₂, …, x_n, які задовольняють умови (2.2) і (2.3), і цільова функція (2.1) набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення. Для загальної задачі лінійного програмування використовуються такі поняття. Вектор Х = (х₁, х₂, …, х_n), координати якого задовольняють систему обмежень (2.2) та умови невід’ємності змінних (2.3), називається допустимим розв’язком (планом) задачі лінійного програмування. Допустимий план Х = (х₁, х₂, …, х_n) називається опорним планом задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи (2.2) у вигляді рівностей, а також обмеження (2.3) щодо невід’ємності змінних. Опорний план Х = (х₁, х₂, …, х_n), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений. Опорний план , за якого цільова функція (2.1) досягає масимального (чи мінімального) значення, називається оптимальним розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

2. Динамічні моделі оптимізації інвестиційних та інноваційних ресурсів

Розглянемо модель фінансової діяльності інноваційного підприємства. Дана модель описує динаміку грошових обігових коштів під час випуску продукції і складається з двох рівнянь:

1) Рівняння балансу грошового потоку фірми

де W – швидкість реалізації продукту, Р - ціна за одиницю продукції, – виробничі витрати. τ1 – час обороту, М0 - власні кошти фірми в час початку розробки інновації,Мех - обсяг зовнішніх запозичень в цей же час. Відповідно, член відображає виплати по кредиту з кредитною ставкою, K – швидкість постійних витрат фірми (вони переслідують дві мети – розширення виробництва уже виробленого продукту і розробку нових ідеї. Сюди також входять витрати на підтримку інфраструктури (витрати на оренду приміщень і інші постійні витрати)). Член відображує витрати на збереження готового продукту на складі у кількості , – кількість готового товару на складі, – частка оборотних коштів, затрачувана на збереження одиниці готової продукції в одиницю часу. Як правило, ця частка невелика τs >> τ1

.2) рівняння складського балансу

(7.2)

де , - собівартість виготовлення продукції.

Головна властивість запропонованої моделі - її нелінійність, тому їй притаманні такі такі властивості нелінійних моделей, як існування декількох стаціонарних точок, наявність біфуркацій при зміні деяких параметрів Тому дана модель описує різні сценарії розвитку підприємства. модель росту та використання знань. Вона представлена наступними рівняннями:

(7.3)

де - трудові ресурси, відповідно розумової та фізичної праці, - змінні “кількості” капіталу і знань, - швидкість надходження капіталу від виробництва

3. Основні принципи і задачі дослідження операцій. Розкрити їх зміст

Дослідження операцій - це теорія використання наукових кількісних методів для прийняття найкращого рішення у різних галузях діяльності людини. Дослідження операцій як наука має ту принципову особливість, що її об'єктами є відносно швидко змінювані організаційно-управлінські системи, які функціонують у нестабільних зовнішніх умовах і поєднують взаємодії людей та засобів праці. Такі системи, як і умови їх функціонування, практично не можна створити за бажанням дослідника, тому лише моделювання є єдиним та ефективним методом дослідження.

До того ж не можна розтягувати дослідження операцій у часі, бо несвоєчасно одержані результати можуть стосуватися минулого стану системи і будуть марними. Результати мають бути завчасними, упереджувати розвиток системи та зміни як зовнішні, так і внутрішні, в середовищі її функціонування. Прогнозування розвитку економічної або системи іншого призначення є одним з головних завдань дослідження операцій.

Типовими класами задач дослідження операцій є:

Розподіл ресурсів. Ресурси - це гроші, матеріали, людська праця і т.п. Ресурси завжди обмежені і в різних виробах забезпечують різний прибуток.

Управління запасами. Із збільшенням запасів створюються умови для більш ритмічної роботи виробництва. Запас - це гарантія можливості виконання будь-якого замовлення. Якщо запасів не вистачає, то можливі значні збитки за рахунок невиконання зобов'язань.

Задачі мережного планування і управління розглядають співвідношення між термінами закінчення великого комплексу операцій і моментами початку всіх операцій комплексу.Мережні задачі полягають у оптимізації процесу обслуговування на мережах чи самої структури мережі.

Задачі планування і розміщення пов'язані з визначенням оптимального числа і місця розміщення нових об'єктів з урахуванням їх взаємодії з наявними об'єктами і між собою.

Задачі дослідження конфліктних ситуацій полягають у виборі оптимальних стратегій поведінки учасників конфлікту.

Задачі масового обслуговування: розглядають питання створення та функціонування черг. Потрібно розв'язати проблеми якісного обслуговування при мінімальних витратах на обладнання.

Задачі складання розкладів (календарного планування) полягають у визначенні оптимальної черговості виконання операцій на різних видах устаткування чи при певному способі надання послуг.

Ремонт та заміна устаткування. Застаріле обладнання вимагає витрат на ремонт і має знижену продуктивність. Потрібні розрахунки для прийняття рішення щодо термінів ремонту та заміни обладнання, які забезпечують найбільший прибуток.

Задача рюкзака: рюкзак має обмежену вантажопідйомність. Потрібно так заповнити рюкзак, щоб отримати максимальний прибуток.

Задачі комівояжера, створення сумішей, наймання / звільнення робітників, мережевого планування робіт, порядку обробки кількох різних деталей.