к повышению цены, если предложение больше спро- са, – к понижению.

9.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУММАРНЫХ ДОХОДОВ ПО ОБЛИГАЦИИ

Общая сумма всех средств, которые вкладчик полу- чит по облигации, складывается из трех элементов: 1) суммы погашения при выкупе облигации по оконча- нии срока ее обращения или суммы от ее продажи; 2) купонных процентов; 3) процентов от реинвестирова- ния купонов.

Если вкладчик держит облигацию до погашения, то первый элемент доходов известен из условий выпуска облигационного займа. Второй элемент – купон также известен. Третий элемент можно определить только в совокупности со вторым по формуле будущей стоимо- сти аннуитета, а именно:

C p Cr 1 r n 1 ,

где: C p – сумма купонных платежей и процентов от

реинвестирования купонов;

C – купон облигации;

n – число периодов, за которые выплачиваются ку- поны;

r – процент, под который вкладчик планирует ре- инвестировать купонные платежи.

Пример 1

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 15%, выплачивается один раз в год. До пога- шения остается 6 лет. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 12% годовых. Опреде- лить общую сумму средств, которые вкладчик получит по дан- ной бумаге, если продержит ее до погашения.

318

Решение Через шесть лет инвестору выплатят номинал обли-

гации. Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования составит:

0150,12 1 0,12 6 1 1217,28 руб.

Общая сумма средств, которые получит инвестор за шесть лет, равна:

1000+1217,28=2217,28 руб.

Пример 2

Изменим несколько условия предыдущей задачи. Предполо- жим, что вкладчик рассчитывает реинвестировать купоны в течение ближайших двух лет под 14%, а оставшихся четырех лет – под 12%. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до пога- шения.

Решение Сумма купонов и процентов от их реинвестирова-

ния в первые два года составит:

0150,14 1,142 1 321 руб.

За оставшиеся до погашения облигации 4 года по- лученная сумма, поскольку она инвестирована под 14%, возрастет до следующего значения:

321 1,144 542,16 руб.

Сумма купонных платежей и процентов от их реин- вестирования под 12% в течение четырех последних лет составит:

0150,12 1,124 1 716,9 руб.

Общая сумма, которую инвестор получит по такой облигации, равна:

1000+542,16+716,9=2259,06 руб.

319

Если вкладчик планирует в будущем продать обли- гацию, то ему необходимо оценить ее стоимость к это- му моменту времени и прибавить к сумме купонов и процентов от их реинвестирования.

9.3. ДЮРАЦИЯ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ РИСКА ОБЛИГАЦИИ

Одним из важнейших аналитических показателей облигации является дюрация. В 1938 г. концепцию дю- рации предложил Ф. Маколей. Однако, в этот момент она не получила широкой известности. Поэтому позже дюрация была самостоятельно открыта целым рядом экономистов. В 1939 г. Дж. Хиксом, в 1945 г. – П. Саму- эльсоном, в 1952 г. – Ф. Редингтоном. Маколей стре- мился найти показатель, с помощью которого можно было сравнивать и объяснять динамику цен облигаций с одинаковым сроком погашения, но разной структу- рой купонных платежей. Хикс хотел определить пока- затель эластичности потока платежей относительно

коэффициента дисконтирования 1 r 1 . Хикс назвал

эту эластичность «средним периодом (average period)», на который платежи удалены от настоящего момента времени. Он также отметил, что относительные цены двух потоков платежей инвариантны к изменению процентных ставок, если они характеризуются одина- ковым средним периодом. Самуэльсон и Редингтон от- крыли дюрацию, анализируя чувствительность активов и обязательств относительно изменений процентных ставок. Самуэльсон исследовал влияние роста про- центных ставок на стоимость финансовых институтов. Он получил первые производные потоков платежей относительно доходности до погашения и назвал дан- ный показатель (эквивалент дюрации Маколея) «сред- невзвешенным периодом времени (weighted average time period)». Редингтон стремился определить, каким

320

должно быть размещение активов и обязательств стра- ховых компаний, страхующих жизнь, чтобы миними- зировать их потери в связи с неожиданными измене- ниями процентных ставок на рынке. Он получил производную платежей относительно процентной ставки и назвал ее «средним временем (mean term)». Он предложил также термин «иммунизация».

До начала 1970-х гг. концепция дюрации не нахо- дила широкого применения на финансовом рынке. Интерес к ней как к практическому инструменту управ- ления портфелем облигаций возник в 1970-е гг. после того, как в 1971 г. Л.Фишер и Р. Вейл показали, что дюрацию можно использовать для иммунизации портфеля облигаций от риска изменения процентных ставок. М. Хоупвелл и Дж. Кауфман также показали, что дюрацию можно рассматривать в качестве меры ценового риска облигаций.

В современной практике дюрация является важным инструментом в вопросах страхования стоимости об- лигации и портфеля облигаций от изменения уровня процентных ставок на рынке. Она также учитывается при формировании ряда активных стратегий управле- ния портфелем. Дополнительным инструментом в данных вопросах, позволяющим получать желаемый результат при более значительных изменениях про- центных ставок, является показатель кривизны

(convexity).

Показатели дюрации и кривизны являются сейчас ключевыми инструментами измерения и управления процентным риском в руках менеджеров портфелей облигаций, а также при управлении активами и пасси- вами банковских институтов.

321

9.3.1. Дюрация Маколея

Дюрация Маколея говорит о том, когда в среднем будут по- лучены платежи по облигации, включая купоны и номинал, то есть это средневзвешенное время всех выплат по облигации.

Весами времени платежей по облигации выступают удельные веса приведенных стоимостей платежей, то есть купонов и номинала, в стоимости облигации. Ку- поны и номинал дисконтируются под ставку доходно- сти до погашения облигации. Дюрация Маколея измеряет-

ся в годах.

Формула дюрации Маколея имеет вид:

	D 1 C / 1 r	2 C / 1 r 2	... n	C N / 1 r n	,
				P
	P	P

где: D – дюрация Маколея;

P – цена облигации;

C – купон облигации;

N – номинал облигации;

1,2,..., n – годы выплат купонов и номинала по об- лигации;

n – количество лет до погашения облигации; r – доходность до погашения облигации.

В уравнении C / 1 r – это удельный вес, с кото-

P

рым учитывается первый год выплаты купона по обли- гации;

	C / 1 r 2	– удельный вес второго года выплаты
	P
купона по облигации и т. д.;
	C P / 1 r n		– удельный вес выплаты последне-
	P

го купона и номинала в стоимости облигации.

В свою очередь величина C / 1 r – это приведен- ная стоимость первого купона;

322

C / 1 r 2 – приведенная стоимость второго купона и т.д.;

C N / 1 r n – приведенная стоимость последне-

го купона и номинала.

В формуле рассчитывается дюрация Маколея обли- гации с выплатой купонов один раз в год.

Если вынести за скобки общий множитель Р1 , то формула с использованием знака суммы примет вид:

n	tC		nN				1
D
	t		1 r	n			P
t 1	1 r

Пример 1.

Номинал облигации 1000 руб., цена 1066,24 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 8%. Определить дюрацию Маколея облигации.

Решение.

Согласно формуле Маколея, дюрация составляет:

			100	2	100			3	100		4		100 1000			1		3,504года
	1
			1,08		1,08		2		1,083				1,084			1066,24

Посмотрим, как поведет себя дюрация, если купон будет равен 20% при тех же условиях. Определим сна- чала стоимость облигации.

P		C			C					C N
							...				.
		1 r			1 r 2					1 r n
Отсюда									200 1000
P	200			200			200					1397,77 .
	1,08			1,082			1,083
									1,084

Согласно формуле Маколея, дюрация составит:

323

			200			200			200				200 1000			1
	D 1			2				3			4							3,2436
			1,08			1,082			1,083				1,084			1397,77

года, что меньше, чем в первом случае, когда дюрация была равна 3,504 года. Таким образом, с ростом значе- ния купона значение дюрации Маколея падает.

Если купон по облигации выплачивается m раз в год, то дюрация рассчитывается по формуле:

D	1		C / m	2	C / m	... mn	C / m N			1
			1 r / m		1 r / m 2		1 r / m mn			P

По приведенной формуле ответ получается в ку- понных периодах. Перевести полученный результат в годы можно по формуле:

Dyear Dmm ,

где: Dyear – дюрация в годах; Dm – дюрация в m периодах.

Пример 2

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 2 года, доходность до пога- шения 10%. Определить дюрацию Маколея облигации.

Решение.

Цена облигации равна 1000 руб. Согласно преды- дущей формуле, дюрация, выраженная в купонных пе- риодах, составляет:

		100 / 2		100 / 2				100 / 2				100 / 2 1000				1
1			2			3				4								3,7232
					2				3				4
		1 0,1/ 2		1 0,1/ 2			1	0,1/ 2				1 0,1/ 2				1000

Дюрация в годах составляет 3,7232 / 2 1,8616года

Пример 3.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до пога- шения 8%. Определить дюрацию Маколея облигации.

324

Решение.

Определим стоимость облигации по формуле:

P

C / m

C / m

...

C / m N

1 r / m

1 r / m 2

1 r / m mn

P

100 / 2

100 / 2

100 / 2

100 / 2

100 / 2

100 / 2

1 0,08 / 2

1 0,08 / 2 2

1 0,08 / 2 3

1 0,08 / 2 4

1 0,08 / 2 5

1 0,08 / 2 6

100 / 2

100 / 2 1000

1067 руб.

1 0,08 / 2 7

1 0,08 / 2 8

Дюрация Маколея, выраженная в купонных перио-

дах,

составит:

100 / 2

100 / 2

100 / 2

100 / 2

100 / 2

1

2

3

4

5

1

0,08 / 2

1

0,08 / 2 2

1 0,08 / 2 3

1

0,08 / 2 4

1

0,08 / 2

5

1

Dm

100 / 2

7 100 / 2

8 100 / 2 1000

6,831

6

1067

1 0,08 / 2

1

0,08 / 2

1 0,08 / 2

Дюрация Маколея, выраженная в годах, равна:

D 6,8312 3,415 года.

Таким образом, чем больше раз в год выплачивает- ся купон, тем меньше временной период, определяе- мый дюрацией Маколея.

Если до погашения облигации много лет, то вы-

	n	tC		nN				1
числения по формуле	D
		t		1 r	n
	t 1	1 r						P

трудоемки. Представленную формулу можно привести к более компактному виду:

	D	C		1 r n 1 nr 1 r			nN
		P		r 2 1 r n			P 1	r n

Пример 4

Номинал облигации 1000 руб., цена 920,37 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 20 лет, доходность до погашения 11%. Определить дюрацию Ма- колея облигации.

325

Решение.

Согласно вышеприведенной формуле, дюрация со- ставляет:

	100		21		20 0,11 1,11				20 1000
D			1,11							8,976 года
					2	20
	920,37								20
				0,11		1,11			920,37 1,11

Если купон выплачивается по облигации m раз в год, то дюрацию можно рассчитать по формуле:

D	C		1 r / m mn 1 nr 1	r / m				nN
	P		r 2 1 r / m mn				P 1	r / m mn

Представленная формула дает дюрацию сразу в го- дах.

Пример 5

Номинал облигации 1000 руб., цена 919,77 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 20 лет, доходность до погашения 11%. Определить дюрацию Ма- колея облигации.

Решение Согласно последней формуле, значение дюрации

будет равно:

			2 20 1	20 0,11 1,055					20 1000
D	100	1,055									8,598 года
				2		2 20
	919,77				1,055				919,77 1,055	2 20
			0,11

9.3.2. Дюрация как эластичность цены

облигации по процентной ставке

Хикс рассматривал дюрацию как показатель эла- стичности цены облигации по процентной ставке. Со- гласно определению дюрации как эластичности цены

облигации по процентной ставке можно записать:
D dP	:	d 1 r	,
P		1 r

326

где: D – дюрация;

P – цена облигации;

dP – небольшое изменение цены облигации; r – доходность до погашения облигации;

dPP – процентное изменение цены облигации;

d 1 r – процентное изменение доходности до

1 r

погашения облигации (если быть более точным, то это процентное изменение величины 1 r ).

В формуле стоит знак минус, чтобы сделать показа- тель дюрации положительной величиной, так как цена облигации и процентная ставка изменяются в проти-

воположных направлениях.
Формулу D dP	:	d 1 r	можно записать как:
P		1 r

D dPdr 1 Pr , так как дифференциал от постоянной

величины равен нулю.

Выразим из уравнения процентное изменение цены

облигации, то есть величину				dP .
dP		dr		P
	D
P		1 r

Из представленной формулы следует, что дюрация

Маколея говорит о том, на сколько процентов изме- нится цена облигации при процентном изменении до- ходности до погашения облигации.

Пример 6

Номинал облигации 1000 руб., цена равна номиналу, купон 10% выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Доходность до погашения облигации 10%, дюрация 4,17 года. Определить процентное изменение цены облигации при процентном росте ее доходности до погашения на один про- цент.

327

Решение Из соотношения:

		Процентное изменение		dr
						прирост до-
				1 r
		доходности до погашения
	ходности до погашения облигации dr					при процент-

ном росте доходности до погашения на 1% равен: dr 1 r 0,01 или dr 1,1 0,01 0,011

Согласно dPP D 1drr процентное изменение це- ны облигации равно:

dPP 4,17 0,1011,1 0,0417 или минус 4,17%.

Насколько полученная оценка является точной? Ес- ли доходность до погашения облигации вырастет на 1,1%, то она составит 11,1%. Цена облигации на осно-

	5	C		N
	вании формулы P				снизится при
		5		5
	t 1	1 r		1 r

этом до 963,04 руб. Фактическое процентное измене- ние цены составит:

963,04 1000 100% 3,696% 1000

Согласно показателю дюрации, процентное изме- нение цены облигации равно – 4,17%, в то время как ее реальное изменение составило – 3,696%. Таким обра- зом, дюрация дает представление о процентном изме- нении цены облигации при изменении процентной ставки, хотя и с некоторой погрешностью.

В приведенном примере дюрация Маколея дала не очень точную оценку процентного изменения цены облигации. Это связано с тем, что дюрация Маколея является линейной мерой такой оценки. В связи с этим можно сказать, что чем больше изменится доходность до погашения облигации, тем менее точной окажется оценка.

328

9.3.3. Модифицированная дюрация. Дюрация

в денежном выражении

На практике часто используют показатель, который называется модифицированной дюрацией. Она опре- деляется по формуле:

Dm			D	dP		1 r		1	dP	1	,
	1		r			P		1 r
				dr					dr P

где: Dm – модифицированная дюрация %;

D – дюрация Маколея;

r – доходность до погашения облигации.

Пример 7

Номинал облигации 1000 руб., цена равна номиналу, купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Доходность до погашения облигации 10%. Определить модифицированную дюрацию.

Как было рассчитано в последнем примере, значе- ние дюрации Моколея такой облигации равно 4,17 го- да. Модифицированная дюрация составляет:

Dm 41,17,1 3,79

На основании проведенных выше преобразований выражение модифицированной дюрации можно пред-

ставить как Dm dPdr P1 , после чего можно выразить

процентное изменение цены облигации в виде:

dPP Dm dr .

Из последнего равенства следует, что модифициро-

ванная дюрация говорит о том, на сколько процентов прибли- зительно изменится цена облигации при изменении ее доходно- сти до погашения на один процент. Формула модифицированной дюрации дает более точную оценку процентного изменения цены облигации, чем дюрация Маколея.

329

Таким образом, формула модифицированной дю- рации показала довольно точную оценку процентного изменения цены –3,79 против –3,696. Погрешность ре- зультата возникает потому, что модифицированная дюрация представляет собой линейную оценку про- центного изменения цены облигации.

Как было показано выше, dPdr Dm P . Выражение в

правой части уравнения называют дюрацией в денежном выражении или денежной дюрацией. В англоязычной лите-

ратуре данный вид дюрации именуют долларовой дю- рацией.

Умножим обе части последнего равенства на выра- жение dr . dP Dm Pdr . Представленное равенство

позволяет определить изменение цены облигации при изменении ее доходности до погашения на небольшую величину.

Пример 8

Номинал облигации 1000 руб., цена 1027,23 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Доходность до погашения облигации 5%, модифицирован- ная дюрация 2,701. Определить, как изменится цена облигации при росте ее доходности до погашения на 0,25%.

Решение.

Согласно dP Dm Pdr цена облигации понизится.

dP 2,701 1027,23 0,0025 6,936 руб.

Знак минус в ответе говорит, что цена облигации понижается.

9.3.4. Эффективная дюрация

Значение модифицированной дюрации можно рас- считать не на основе приведенных выше формул, а разностным методом (метод конечных разностей), то есть по формуле:

330

Dm P dr P dr / P ,

2dr

где: dr – изменение доходности до погашения об- лигации;

P dr – цена облигации при росте доходности до по-

гашения на величину dr ;

P dr – цена облигации при падении доходности до

погашения на величину dr .

Пример

Номинал облигации 1000 руб. До погашения облигации 5 лет, купон 6%, выплачивается один раз в год, доходность до погашения 7%. Определить модифицированную дюрацию с по-

мощью формулы Dm P dr P dr / P , взяв изменение

2dr

доходности до погашения в два базисных пункта.

Решение Цены облигации для доходности до погашения 7%

, 7,02% и 6,98% соответственно равны: 958.9980, 958.2004 и 959.7965 руб. Модифицированная дюрация равна:

Dm 958,2004 959,7965 / 958,9980 4,1610248 2 0,0002

Фактическое значение модифицированной дюра- ции данной облигации составляет 4,1610239. Некото- рая разница в полученных значениях объясняется зна- чительным интервалом 2 б.п., на котором была

рассчитана дюрация. Чем меньшим будет изменение процентной ставки, тем меньшей будет итоговая ошибка. Данный подход при расчете дюрации исполь- зуется в случаях, когда изменение цены облигации не просто определить на основании аналитической

331

формулы. В качестве примера такой ситуации можно назвать облигации со встроенными опционами.

Аппроксимация значения модифицированной дю-

рации называется эффективной дюрацией.

9.3.5. Свойства дюрации Маколея

и модифицированной дюрации

Дюрация обладает следующими свойствами:

1.Значение дюрации Маколея облигации с нуле- вым купоном равно значению времени до ее погаше- ния. Значение модифицированной дюрации беску- понной облигации меньше времени до ее погашения. Для купонной облигации значение дюрации Маколея и модифицированной дюрации меньше времени до ее погашения.

2.Чем меньше купон облигаций, тем больше дю- рация, так как больший удельный вес выплат по бумаге приходится на момент ее погашения. Чем выше купон облигации, тем меньше ее дюрация.

3.Чем чаще выплачиваются купоны по облига- ции, тем меньше дюрация, так как больше платежей располагается к начальному моменту. Одновременно увеличивается коэффициент дисконтирования для но- минала и, соответственно, уменьшается его удельный вес в цене облигации.

4.При росте доходности до погашения облигации дюрация уменьшается, при понижении увеличивается. Такая динамика объясняется тем фактом, что при росте процентной ставки приведенная стоимость купонов и номинала облигации падает, однако она уменьшается в большей степени для более отдаленных платежей по облигации. Поэтому удельный вес для более отдален- ных моментов во времени уменьшается в большей сте- пени, чем ближайших, и соответственно дюрация со- кращается.

332

5. Чем больше время остается до погашения обли- гации, тем больше дюрация. Однако следует подчерк- нуть, что увеличение времени обращения облигации не всегда автоматически означает и рост ее дюрации. Прямая зависимость наблюдается только для облига- ций с нулевым купоном: их дюрация равна времени, остающемуся до погашения. Дюрация купонной обли- гации при увеличении срока до ее погашения стремит-

ся к пределу, равному 1 1r , где r – доходность до по-

гашения бумаги.

6. Чем больше дюрация, тем в большей степени цена облигации реагирует на изменение процентной ставки и наоборот. Другими словами, чем больше дю- рация, тем больше риск по облигации.

9.3.6. Иммунизация облигации

Для купонной облигации существует риск реинве- стирования купонов. Он заключается в том, что при падении процентных ставок купоны реинвестируются под более низкий процент, при повышении ставок – под более высокий. Изменение процентных ставок также оказывает влияние на цену облигации, но в про- тивоположном направлении. Таким образом, при по- вышении ставок инвестор будет проигрывать в цене облигации, но выигрывать от реинвестирования купо- нов. Напротив, при падении доходности, он выигрыва- ет от роста цены облигации, но проигрывает от реин- вестирования купонов. Поскольку изменение цены облигации и доходов от реинвестирования купонов имеют противоположную направленность, можно най- ти точку во времени в течение срока обращения обли- гации, где оба процесса уравновешивают друг друга и доходность операции для инвестора остается неизмен- ной. Такая точка во времени и представлена дюрацией

333

облигации. Например, инвестор купил облигацию с доходностью до погашения 20%, дюрацией 3 года, до погашения которой остается 5 лет. Через некоторое время доходность до погашения данной облигации вы- росла. Если он продаст облигацию через три года, то реализованная доходность его операции составит 20%. Таким образом, инвестор может обезопасить себя от изменения процентных ставок на рынке, или иммуни- зировать облигацию для периода времени в 3 года. Ес- ли он продаст облигацию раньше или позже трех лет, то реализованная доходность, как правило, будет отли- чаться от 20%. В этом случае инвестор подвергается риску изменения процентной ставки.

Величина дюрации дает хорошее приближение из- менения цены облигации только для небольших изме- нений доходности до погашения. Поэтому, если в рас- сматриваемом примере доходность до погашения облигации сильно изменится, она уже не будет имму- низирована на период в 3 года, а инвестор не обеспе- чит себе реализованную доходность в 20% на этот мо- мент времени. Если процент вырастет, дюрация уменьшится и соответственно временная точка имму- низации облигации составит меньше трех лет, и на- оборот.

Приведенные выше формулы определения дюра- ции относятся только к безрисковым, то есть государ- ственным облигациям. Если говорить об облигациях корпораций, то для них существует кредитный риск. Он также должен найти отражение в величине их дю- рации. В связи с этим при расчете дюраций корпора- тивных облигаций необходимо учитывать модели кре- дитного риска.

334