Инвестор планирует получить через три месяца деньги и купить облигацию, которая не является самой дешевой для по- ставки по фьючерсному контракту. Дополним предыдущий пример необходимыми условиями и определим число фьючерс- ных контрактов для хеджирования:

S 119, D 14,2 , Dg 12,1

Коэффициент хеджирования на базе дюрации ра-

вен

K 14,2 119 1,25 12,1 112

Число фьючерсных контрактов, которое должен купить вкладчик, равно

740000 1,2 1,25 9,9 или10 контрактов 100000 1,12

11.5. ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПОКАЗАТЕЛЯ ДЮРАЦИИ

При активном управлении портфелем облигаций может возникать необходимость страховаться от изме- нения стоимости портфеля при изменении процент- ной ставки на короткие периоды времени. Это можно сделать на основе дюрации портфеля. Рассмотрим технику хеджирования портфеля из одной облигации.

Инвестор владеет облигацией и хотел бы застрахо- ваться от изменения ее стоимости. Цена облигации равна P , доходность до погашения – r , модифициро-

ванная дюрация – Dm . Облигация страхуется с помо- щью другой облигации, назовем ее хеджирующей об- лигацией. Цена ее равна Ph , доходность до погашения

– rh , модифицированная дюрация – Dmh . Для страхо-

вания стоимости позиции необходимо создать хеджи- рующий портфель, включив в него хеджируемую и

386

хеджирующую облигации. Стоимость хеджирующего портфеля PP равна:

PP P hPh ,

где h – количество хеджирующих облигаций.

При изменении процентной ставки стоимость портфеля изменится на величину dPP :

dPp dP hdPh ,

где: dP – изменение стоимости хеджируемой облига- ции;

dPh – изменение стоимости хеджирующей облига-

ции.

Инвестор заинтересован в сохранении неизменной стоимости портфеля. Поэтому необходимо построить его таким образом, чтобы:

dPP dP hdPh 0

Изменение стоимости первой и второй облигаций можно представить как:

dP Dm Pdr и dPh Dmh Ph drh

Подставим dP и dPh в выражение dPP :

Dm Pdr hDmh Phdrh 0

Найдем из равенства величину h: h Dm Pdr

Dmh Ph drh

Выражение определяет количество хеджирующих облигаций в портфеле инвестора. Знак минус говорит о том, что хеджирующую облигацию необходимо про- дать.

387

В случае параллельности сдвигов кривых доходно- стей при изменении процентных ставок dr drh , ра- венство принимает вид:

h Dm P

Dmh Ph

Если кривая доходности параллельна оси абсцисс, т.е. доходность до погашения для любых временных периодов одинакова, модифицированная дюрация ме- няется на дюрацию Маколея:

h DP , Dh Ph

где D и Dh – дюрации Маколея соответственно для первой и второй облигаций

Пример

Портфель инвестора состоит из пяти одинаковых облига- ций, которые погашаются через восемь лет. Номинал облига- ций 1000 руб., купон 12%, выплачивается один раз в год, цена 1106,7 руб. Портфель страхуется с помощью продажи четы- рехлетних облигаций. Их номинал 1000 руб., купон 10%, вы- плачивается раз в год, цена 1000 руб. Кривая доходности па- раллельна оси абсцисс. Дюрация Маколея четырехлетней облигации составляет 3,49 года, восьмилетней – 5,69 года. Оп- ределить какое количество четырехлетних облигаций следует продать инвестору.

Решение

	В соответствии с формулой h	DP			на каждую
		D	P
			h h
	восьмилетнюю облигацию следует продать:
	5,69 1106,7 1,8 четырёхлетних облигаций
	3,49 1000
	Для страхования портфеля	надо			продать:
	5 1,8 9 четырёхлетних облигаций

388

11.6. ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДЮРАЦИИ И КРИВИЗНЫ

Хеджирование с помощью показателя дюрации страхует позицию инвестора только от небольших из- менений процентной ставки. При значительных изме- нениях конъюнктуры необходимо наряду с дюрацией использовать и показатель кривизны. Для этого фор- мируют хеджирующий портфель, в который входит первоначальный портфель инвестора и, по крайней мере, два хеджирующих актива. Обозначим стоимость, модифицированную дюрацию и кривизну первона- чального портфеля через P0 , Dm0 , conv0 , а стоимости,

модифицированные дюрации и кривизну хеджирую- щих активов соответственно через P1 и P2 , Dm1 и Dm 2 , conv1 и conv2 . Актив инвестора будет иммунизи-

рован от изменения процентной ставки, если в резуль- тате ее изменения стоимость хеджирующего портфеля останется неизменной. Поэтому можно записать:

dPP DP0 h1dP1 h2 dP2 0 ,

где: dPP – изменение стоимости хеджирующего порт- феля;

h1 – количество единиц первой облигации в хед- жирующем портфеле;

h2 – количество единиц второй облигации в хед-

жирующем портфеле.

Представим изменения стоимости портфеля инве- стора и хеджирующих облигаций с помощью показа- телей дюрации и кривизны:

389

dP0 Dm0 P0 dr0 12 conv0 P0 dr0 2 dP1 Dm1 P1dr1 12 conv1P1 dr1 2

dP2 Dm2 P2 dr2 12 conv2 P2 dr2 2

Подставим данные формулы в формулу dPP :

Dm0 P0 dr0 12 conv0 P0 dr0 2 h1 Dm1 P1dr1 h1 12 conv1 P1 dr1 2h2 Dm2 P2 dr2 h2 12 conv2 P2 dr2 2 0

На основе последнего выражения составим два ра- венства, объединив в первое слагаемые, содержащие показатели дюрации, а во второе – показатели кривиз- ны:

Dm0 P0 dr0 h1Dm1P1dr1 h2 Dm2 P2 dr2 0

12 conv0 P0 dr0 2 h1 12 conv1 P1 dr1 2 h2 12 conv2 P2 dr2 2 0

Допустим, что при изменении процентных ставок кривые доходности смещаются параллельно, то есть:

dr0 dr1 dr2 .Тогда:

h1 Dm1 P1 h2 Dm2 P2 Dm0 P0h1conv1 P1 h2conv2 P2 conv0 P0

Стоимость хеджирующего портфеля зависит от удельных весов хеджирующих облигаций, которые оп- ределяются из системы уравнений.

Пример 1

В портфель входят сто облигаций номиналом 1000 руб., купоны выплачиваются один раз в год. До погашения облигаций 8 лет, купон 12%, доходность до погашения 11%, цена 1051,46 руб., модифицированная дюрация 5,07, кривизна 39,05.

390

Инвестор хеджирует портфель с помощью двух об- лигаций номиналом 1000 руб. До погашения первой бумаги 4 года, купон 10%, доходность до погашения 10%, цена 1000 руб., модифицированная дюрация 3,17, кривизна 13,72. Вторая облигация погашается через 10 лет, купон 14%, доходность до погашения 12%, цена 1113,0 руб., модифицированная дюрация 5,49, кривиз- на 44,26. Предполагается, что кривая доходности будет смещаться параллельно. Необходимо определить ко- личество хеджирующих облигаций в хеджирующем портфеле.

Решение Подставим данные задачи в систему уравнений:

h1 Dm1 P1 h2 Dm2 P2 Dm0 P0

h1conv1 P1 h2 conv2 P2 conv0 P0

Тогда получим:

3,17 1000h1 5,49 1113h2 5,07 10514613,72 1000h1 44,26 1113h2 39,05 105146

или

3170h1 6110,37h2 533090,2213720h1 49261,38h2 4105951,3

Систему уравнений удобно решить в матричной форме. В матричной форме систему можно записать как:

Ah B

Ее решение имеет вид: h A 1 B ,

где A 1 обратная матрица к матрице А. В нашем примере:

391

3170	6110,37
A		;
	49261,38
13720

	533090,22		h
B	4105951,3	;	h 1
			h
			2

Поэтому уравнение Ah B можно представить как:

3170	6110,37	h			533090,22
	49261,38	1			4105951,3
13720		h
		2

Соответственно его решение равно:

h		3170	6110,37	1		533090,22			16,2031
1
			49261,38			4105951,3			78,8375
h2		13720

Полученный ответ говорит о том, что для форми- рования хеджирующего портфеля следует продать первую и вторую облигации в количествах соответст- венно 16,2031 и 78,8375 штук. Поскольку нельзя дро- бить облигации, то надо продать 16 первых облигаций и 79 вторых облигаций. Стоимость хеджирующих об- лигаций в портфеле инвестора в сумме составит:

1000 руб. 16 1113 руб. 79 103927 руб.

Допустим, что в примере 1 инвестор хотел бы, что- бы сумма стоимости хеджирующих облигаций в порт- феле равнялась стоимости первоначального портфеля. Тогда необходимо использовать еще одну облигацию, и решить следующую систему уравнений:

h1 P1 h2 P2

h3 P3 PP

h1 Dm1 P1 h2 Dm2 P2

h3 Dm3 P3 Dm0 P0

h conv P

h conv

2

P

h conv P conv

0

P

1

1

1

2

2

3

3

3

0

где: P3 – цена третьей облигации;

Dm3

–

величина

модифицированной

дюрации

третьей облигации;

conv3

– кривизна третьей облигации;

392

h3 – количество единиц третьей облигации в хед- жирующем портфеле.

Пример 2

В портфель входят сто облигаций номиналом 1000 руб., купоны выплачиваются один раз в год. До погашения облигаций 8 лет, купон 12%, доходность до погашения 11%, цена 1051,46 руб., модифицированная дюрация 5,07, кривизна 39,05. Инве- стор хеджирует портфель с помощью трех облигаций номина- лом 1000 руб. До погашения первой бумаги 4 года, купон 10%, доходность до погашения 10%, цена 1000 руб., модифицирован- ная дюрация 3,17, кривизна 13,72. До погашения второй бумаги 5 лет, купон 10%, доходность до погашения 10,2%, цена 992,46 руб., модифицированная дюрация 3,78, кривизна 19,28. Третья облигация погашается через 10 лет, купон 14%, доход- ность до погашения 12%, цена 1113,0 руб., модифицированная дюрация 5,49, кривизна 44,26. Предполагается, что кривая доходности будет смещаться параллельно. Необходимо опреде- лить количество хеджирующих облигаций, если стоимость хеджирующего портфеля должна остаться равной стоимости портфеля инвестора.

Решение Подставим данные задачи в систему уравнений:

h1 P1 h2 P2 h3 P3 Pp

h1 Dm1 h2 Dm2 P2 h3 Dm3 P3 Dm0 P0h1conv1 h2 conv2 P2 h3conv3 P3 conv0 P0

1000h1 992,46h2 1113h3 105146

3,17 1000h1 3,78 992,46h2 5,49 1113h3 5,07 10514613,72 1000h1 19,28 992,46h2 44,26 1113h3 39,05 105146

или

1000h1 992,46h2 1113h3 1051463170h1 3751,5h2 6110,37h3 533090,2213720h1 49261,38h2 4105951,3

393

Решим систему уравнений в матричной форме:

	1000		992,46	1113			h					105146
		3170	3751,5	6110,37				1			533090,22
							h2
	13720		19134,63	49261,38			h				4105951,3
								3
	или
h		1000	992,46	1113		1		105146					29,038
1			3751,5	6110,37				533090,22						13,674
h2		3170
h		13720	19134,63	49261,38				4105951,3						80,574
3

Полученный ответ говорит о том, что для форми- рования хеджирующего портфеля следует продать первую и третью облигации в количестве соответст- венно 29,038 и 80,574 штук и купить 13,674 штук вто- рой облигации. Поскольку нельзя дробить облигации, то надо продать 29 первых облигаций и 81 третью об- лигацию и купить 14 вторых облигаций.

Вопросы для самоконтроля

Иммунизация портфеля облигаций. Использование инструментов срочного рынка для

хеджирования инвестиционного портфеля. Хеджирование самой дешевой облигации. Хеджирование с использованием показателя дюра-

ции.

Хеджирование портфеля облигаций с помощью показателя дюрации.

Хеджирование портфеля облигаций с помощью показателей дюрации и кривизны.

394