2.1.1.5 Распределение Пуассона

Распределение Пуассона в обеспечении качества выступает в двух ролях. При определенных предпосылках оно является распределением качественного дискретного признака, то есть числа ошибок на одно изделие, но его главное значение в обеспечении качества состоит в том, что им можно аппроксимировать биномиальное и гипергеометрическое распределение.

Случайная переменная (признак качества) имеет распределение Пуассона, если распределение вероятностейимеет вид:

в противном случае,

при ,

(2.36)

где - параметр распределения Пуассона, называемый такжеинтенсивностью.

Распределению Пуассона подчиняется количество случайных событий, которые появляются в фиксированные промежутки времени или в фиксированной области пространства, например, количество несоответствий в выборке или количество несоответствий, приходящихся на единицу продукции. При значениемонотонно убывает с ростом.

Функция распределения имеет вид

при .

при ,

(2.37)

Примечание. - наибольшее целое число, равное или меньше(так называемые скобки Гаусса). Например, [3.1] = 3; [3] = 3; [-3.2] = -4; [-3] = -3.

На рис.2.5 изображены графики плотности распределения вероятностей и функции распределения Пуассона для .

Отметим следующие свойства распределения Пуассона. Математическое ожидание , дисперсия(это важнейшая особенность распределения Пуассона - позволяет на практике утверждать, что если выборочные значения математического ожидания и дисперсии примерно равны экспериментально, то полученное распределение случайной величины подчинено распределению Пуассона).

Рис.2.5. Плотность распределения и функция распределения Пуассона при

Коэффициент асимметрии - . Мода распределения Пуассона равна:

- если две моды;

- если одна мода.

Для определения распределения вероятностей имеются рекуррентные формулы:

, (2.38а)

. (2.38б)

Распределение Пуассона очень часто применяют при приемочном контроле редко наступающих событий, для аппроксимации других, более сложных дискретных распределений.

Например,

- при условии, что(или);и;

- при условии, чтои.

Распределение Пуассона является не только предельным случаем биномиального распределения, но и имеет большое самостоятельное значение в физике, теории надежности, теории массового обслуживания и др. Например, распределением Пуассона описывается число радиоактивных превращений ядер в данном образце за данный промежуток времени, число поступивших на АТС за рассматриваемый промежуток времени вызовов, число отказавших на испытаниях изделий и т.д.

В заключение следует сказать, что в статистических методах обеспечения качества гипергеометрический закон применим для выборок любого объема и любого уровня несоответствий, а биномиальный закон и закон Пуассона являются его частными случаями при соответствующих условиях.

Пример 2.12. В партии деталей 1 % брака. Вычислите вероятность того, что среди 50 отобранных деталей из этой партии будет 2 бракованных равна.

Интенсивность равна . Тогда

.

Пример 2.13. Вычислите , а затем с помощью рекуррентной формулы значенияв точкахи.

.

,

,

,

.

Пример 2.14. Пусть - вероятность появления в партии дефектного изделия,- объем партии. Определите математическое ожидание и дисперсию.

Ожидаемое в среднем число дефектных изделий . Тогда.

Пример 2.15. Пусть интегральная дефектность для некоторой технологии в расчете на единицу площади составляет деф./см². Определите вероятность того, что в изделии не будет ни одного дефекта для изделия площадью см² и мм².

Среднее ожидаемое число дефектов в расчете на одно изделие составит величину . Тогда

деф./изд.,

деф./изд.

,

.