2.1.1.3 Гипергеометрическое распределение

Пусть из урны с шарами,из которых черные, а остальныешаров белые, т.е. из распределенной по Бернулли конечной совокупности, берется выборка объемомбез возвращения. Вытягивание черного шара означает «успех». Тогда общее число успехов в выборке имеетгипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение типично для контроля по качественному признаку. Генеральной совокупностью в этом случае является проверяемая партия объемом , в которойизделий дефектны (значениенеизвестно). Обнаружение дефектного элемента интерпретируется как «успех». Введенное в (2.8) отношение, обозначающее в приемочном контролеуровень дефектности или долю брака, характеризуют качество партии изделий.

Гипергеометрическое распределение имеет вид:

при ,

в противном случае,

(2.16)

где .

В зависимости (2.16) в знаменателе стоит число всех возможных выборок объемомиз генеральной совокупности сэлементами (выборки берутся без возвращения и без учета последовательности отобранных изделий). Вчислителе стоит число всех тех выборок (без возвращения и без учета последовательности отобранных изделий), которые содержат «успехов» из общего возможного числа «успехов», и«неудач» из общего возможного числа «неудач», то есть. Поэтому выражение (2.16) дает пример классическогоопределения вероятности: отношение числа «успехов» к числу всех возможных случаев.

Для функции распределения следует:

при ,

при ,

при .

(2.17)

Функцию распределения (2.17) нельзя упростить и представить аналитически, но можно вычислить и/или табулировать, что частично проделано и представлено в специальной литературе (см. табл.3.1).

Учитывая, что при контроле по качественному признаку, математическое ожидание и дисперсия гипергеометрического распределения соответственно равны:

, (2.18а)

. (2.18б)

На практике часто используются рекуррентные (возвратные) соотношения:

, (2.19а)

. (2.19б)

Гипергеометрическое распределение симметрично относительно параметров и, поэтому

; (2.20а)

. (2.20б)

Если элементы выборки и остатка партии, распределенной по закону Бернулли, разделить на две части по принципу «успех» (дефектные элементы) - «неудача» (годные элементы), то получим результаты, представленные в табл.2.1.

Таблица 2.1. Результаты деления выборки и остатка партии

Совокупность	Проявление		Объем совокупности
	Успех	Неудача
Выборка
Остаток партии
Генеральная совокупность

Каждую из четырех величин, записанных в средней части табл.2.1, рассматривают как реализацию случайной переменной, имеющей гипергеометрическое распределение, каждый раз с другими параметрами. Эти параметры стоят в конце соответствующей строки или столбца. Поэтому распределение вероятностей иногда представляют в виде:

, (2.21а)

, (2.21б)

. (2.21в)

Следует отметить, что и границы ив (2.16) можно получить из табл.2.1, если учесть, что величины во внутренних полях таблицы должны быть положительными.

Аналогично (2.11) для функции распределения имеем:

, (2.22а)

, (2.22б)

. (2.22в)

Гипергеометрическое распределение трудно представить в виде таблицы, поскольку оно зависит от трех параметров и.

Пример 2.6. На предприятие поступает партия конденсаторов объемом , из которыхизделий дефектны. Из этой совокупности берут выборку без возвращения объемом. Пустьобозначает число дефектных конденсаторов в выборке. Вычислите вероятностивозможных значений. Вычислите также моду, математическое ожидание и дисперсию.

Случайная величина , имеет распределение. Поскольку границыисоставляют, а, то дляможно записать:

.

Значения дл не внесены в многие таблицы, поэтому сначала вычислим, используя определение биномиальных коэффициентов,. Поэтому:

0.310563.

Другие вероятности вычисляем с помощью рекуррентных (возвратных) соотношений:

,

,

,

,

.

Таким образом, мода , а математическое ожиданиеи дисперсияравны соответственно:

, .

Пример 2.7. Докажите справедливость (2.20а)

Равенство можно доказать, воспользовавшись (2.16) и подробно расписав выражения для соответствующих биномиальных коэффициентов

,

.

Как видно, представленные выражения тождественны.

При рассмотрении контроля с прерыванием по качественному признаку очень часто используется так называемое отрицательное гипергеометрическое распределение. Оно базируется на следующей модели: из урны с шарами, из которыхшаров черные, а оставшиесябелые, берут шары без возвращения до тех нор, пока не вытянут-ый черный шар (). Черным шарам при контроле качества соответствуют дефектные элементы в партии. Тогда проверяемой переменной в этой модели будет общее числотех шаров, которые следует вытянуть, чтобы встретился-ый черный шар, то есть- это случайный объем выборки (или число проконтролированных изделий). Отрицательное гипергеометрическое распределение называют такжегипергеометрическим распределением времени ожидания.

Распределение вероятностей выглядит следующим образом:

при ,

в противном случае.

(2.23а)

П

при ,

ервый сомножитель в (2.23а) представляет собой вероятность, с которой при первыхпопытках получают точночерных шара, поэтому (2.23а) можно представить как

в противном случае.

(2.23б)

Второй сомножитель в (2.23а) определяет условную вероятность получения черного шара при -ой попытке, если перед этим было вытянуточерных шаров.

Выписывая биномиальные коэффициенты в (2.23а) и объединяя их со вторым сомножителем, можно получить третью форму представления отрицательного гипергеометрического распределения:

в противном случае.

при ,

(2.23б) (2.23в)

Функцию распределения вначале представим в виде

при ,

при ,

при .

(2.24а)

После некоторых преобразований с учетом функции (2.17) гипергеометрического распределения получим другую форму представления:

. (2.24б)

Без доказательства приведем следующие свойства случайной переменной , имеющей отрицательное гипергеометрическое распределение:

, (2.25а)

. (2.25б)

Аналогично имеют место рекуррентные соотношения:

, (2.26а)

. (2.26б)

Пример 2.8. Из генеральной совокупности , в которой дефектных изделий, берутся конденсаторы до тех пор, пока не обнаружат третий бракованный. В этом случае величинаобозначает достигаемый объем выборки (число конденсаторов, отоб­ранных до обнаружения третьего дефектного элемента). Вычислите вероятность того, что объем данной выборки составитконденса­торов. Вычислите соответствующую вероятность дляи. Вычислите математическое ожидание и дисперсию?

Случайная величина имеет отрицательное гипергеометрическое распределение с. Так как все указанные объемы выборок лежат междуи, то из (2.23а) следует, что

.

С учетом того, , получим.

Другие вероятности вычисляем с помощью рекуррентных соотношений:

.

.

.

.

Математическое ожидание и дисперсия составляют:

;

.