2.1.2 Распределение непрерывных признаков

Случайная дискретная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Однако такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для случайных непрерывных величин, так как последние могут принимать любые значения из некоторого заданного интервала.

Действительно, рассмотрим случайную величину , возможные значения которой сплошь заполняют интервал. Можно ли составить перечень всех возможных значений? Очевидно, что сделать этого нельзя и целесообразно дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводятфункцию распределения вероятностей случайной величины.

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет определенное значение, например меньшее, то есть

.

Отметим несколько свойств функции распределения:

- значения функции распределения принадлежит отрезку ;

- неубывающая функция, т.е. , если ;

- вероятность того, что случайная величина примет значения, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале, т.е.(рис.2.6);

- вероятность того, что случайная непрерывная величина примет одно определенное значение, равна нулю (при этом, однако, случайная величина обязательно примет одно из возможных значений, в том числе и);

- если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , топри, ипри.

Случайная непрерывная величина задается не только функцией распределения, но и плотностью распределения (плотностью вероятности или дифференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей случайной непрерывной величины называют функцию- первую производную от функции распределения, т.е..

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Примечание. Для описания распределения вероятностей случайной дискретной величины данная зависимость неприменима.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что случайная непрерывная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу, т.е..

Зная плотность распределения , можно найти функцию распределенияпо формуле(рис.2.6).

Р

ис.2.6. Взаимосвязь между функцией распределения и его плотностью

Отметим несколько свойств плотности распределения:

- плотность распределения неотрицательная функция, т.е. ;

- несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от доравен единице, т.е.;

- несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от доравен функции распределения, т.е.,в отличие от дискретной величины, у которой функция распределения - сумма отдельных вероятностей ;

- .

Таким образом, вероятностный смысл плотности распределения заключается в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равное произведению плотности вероятности в точкена длину интервала(рис.2.7).

0

Рис.2.7. Фрагмент кривой плотности распределения

На рис.2.7 видно, что площадь заштрихованного прямоугольника, равная произведению , лишь приближенно равна площади криволинейной трапеции (истинной вероятности, определяемой определенным интегралом). Допущенная при этом погрешность равна площади криволинейного треугольника.

При решении практических задач приходится сталкиваться с различными распределениями случайных непрерывных величин. Наиболее часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений, а также распределение Стьюдента (- распределение), распределение- квадрат, распределение Фишера (- распределение) и некоторые другие.