2.1 Распределение признаков качества

Таким образом, под качеством понимают совокупность тех свойств изделий или процессов, которые характеризуют их пригодность к выполнению определенных требований.

Под теоретическим распределением или моделью распределения понимают распределение вероятностей появления различных случайных значений признака в генеральной совокупности носителей признака. При этом случайной величиной (СВ) называется переменная , которая в результате опыта или измерения может принятьлюбое значение из задан­ного множества значений и с которой связано распределение вероятно­стей. Случайные величины обозначаются заглавными буквами Конкретное значение, принимаемое случайной величинойпри наблюдении, называется реализацией. Реализации обозначаются малыми буквами.

Различают случайные величины дискретного типа (сокращенно СВДТ) и непрерывного типа (сокращенно СВНТ).

Случайная величина называется СВДТ, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Например, число бросаний монеты до появления герба или число выпавших очков при бросании игрального кубика, число дефектных изделий в партии, число отказов устройства за год и т.п.

Случайная величина называется СВНТ, если множество ее возможных значений заполняют интервал числовой оси, т.е. принимает любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Например, время безотказной работы устройства или погрешность измерения, погрешность размера при изготовлении обуви, количество химических элементов в красителе и т.д.

Для полного задания случайной величины необходимо указать множество ее возможных значений и определить некоторое соответствие между отдельными ее значениями (или некоторыми подмножествами) и вероятностями, с которыми эти значения (или подмножества) принимаются. Любое такое соответствие называетсязаконом распределения или моделью распределения случайной величины.

Например, для СВДТ достаточно указать или зависимость или таблицу следующего вида:

Возможные значения случайной величины			…
			…

Для СВНТ такие способы не годятся, поэтому ставят в соответствие вероятности не отдельные значения случайной величины, а множество значений , где- произвольное число.

2.1.1 Распределение дискретных признаков

2.1.1.1 Равномерное распределение и некоторые понятия теории статистических распределений

Простейшей моделью распределения дискретной случайной переменной с конечным числом значений является равномерное распределение. Оно отличается тем, что значения признака одинаково удалены друг от друга и наступают равновероятно.

Пусть случайная переменная имеетзначений (реализаций). Наименьшее значение равно. Последующие значения удалены друг о друга на расстояние. Если нет особых оснований считать, что вероятности одних значений будут превышать вероятности других, то их по принципу недостаточного основания можно считать одинаковыми. Значениям случайной переменной будут соответствовать одинаковые вероятности.Распределением называется зависимость между значениями дискретной случайной переменной ивероятностями их появления .

Равномерное распределение имеет вид , где

для ,

в противном случае.

(2.1)

Графически распределение представлено на рис. 2.1а. Здесь над каждым значением из области определения (2.1) начерчены перпендикуляры, высота которых соответствует вероятности появления этих значений.

Введение распределения имеет смысл только для дискретных случайных переменных, так как вероятность появления отдельного значений непрерывной случайной переменнойравна нулю. Функция распределения применима для описания распределений как дискретных, так и непрерывных случайных переменных. По определению, она равна вероятности, с которойпринимает значения, меньшие или равные(вероятности достижения значе­ния).

Функция распределения для случайной дискретной переменной определяется как сумма вероятностей всех значений , находящихся слева от точки, включая и эту точку.

Графиком функции распределения является ступенчатая линия со скачками в точках, соответствующих значениям переменной, и равными вероятностям появления этих значений. Функция распределения считаетсянепрерывной справа, то есть если к месту скачка приближаться справа, то функция принимает там верхнее, а не нижнее значение.

Обозначим функцию распределения дискретной равномерно распределенной переменной как , тогда

при ,

при , (2.2)

при .

График функции (2.2) представляет собой ступенчатую линию со скачками в точках и с высотой скачков. Непрерывность функции справа отмечается тем, что кружки в точках разрыва на каждой ступени наносятся слева (рис.2.1б). Для случайной дискретной величиныс распределением (2.1) или (2.2) используют запись.

Пример 2.1. В эксперименте с одноразовым бросанием абсолютно симметричного кубика можно применить равномерное дискретное распределение с параметрами и. Распределение и функция распределения задаются следующим образом:

при ,

в противном случае.

при ,

при .

при ,

Графиком распределения является последовательность отрезков, графиком функции распределения - ступенчатая кривая (рис.2.1).

Функция распределения обладает следующими свойствами:

- ; (2.3а)

слабо монотонна

- для; (2.3б)

- ,. (2.3в)

Первое свойство очевидно, так как определяется как вероятность. Отсюда следуют также названные асимптотические свойства. Свойство монотонности вытекает из того, чторавна сумме вероятностей и каждая добавляемая вероятность неотрицательна.

Функция распределения определяет вероятность достижения заданного значения. Часто интересует обратная задача: при каком значениивероятность его достижения равна, то есть когда имеет место? Решение этой задачи находится с помощью функции, обратной функции распределения:

, .

Эта функция называется квантильной функцией данного распределения. Значения называютквантилями распределения, а - порядком квантиля. Итак, имеет силу

квантиль порядка для распределения, определенного через

. (2.4)

Рис.2.1 Равномерное распределение (бросание кубика)

Квантили являются параметрами, позволяющими с помощью чисел описать положение распределения вдоль оси абсцисс: по формуле (2.4) есть то значение, для которогоивсех возможных значенийменьше или равны, то есть лежат слева от точки. Для наиболее распространенных квантилей имеются собственные названия, например:

- медиана или квантиль порядка ;

- нижний квартиль или квантиль порядка ;

- верхний квартиль или квантиль порядка .

Квантиль распределения можно вычислить с помощью графика функции распре­деленияили современного программного продуктаSTATISTICA. Графически получают как значения, соответствующие ординатам. Например, медиана нормированного нормального распределения равна нулю.

Для дискретных случайных величин, у которых функция распределения представляет собой ступенчатую ломаную линию, обратное отображение не существует. Но и в этом случае через(или инфимум – это наибольшая нижняя граница непустого ограниченного снизу множества действительных чисел) определяют обобщенную квантильную функцию (обратную функцию). Для дискретного равномерного распределения, скачки которого возникают при, квантильная функция имеет вид

при ,

при ,

: :

при .

Если распределение дискретной случайной переменной имеет однозначно определенное наибольшее значение, то соответствующее ему значениеназываетсямодой распределения, а само распределение - одномодальным. Мода является функционалом (числовой характеристикой), описывающим положение распределения. Если распределение имеет несколько таких наибольших значений, то оно называется многомодальным (распределение с несколькими модами). В силу того, что распределение вероятностей (2.1) не имеет наибольшего значения, то это распределение не имеет и моды (рис.2.1а).

Другим параметром положения распределения является математическое ожидание . Для дискретной случайной переменнойоно определяется как.

Математическое ожидание дискретной случайной переменной является взвешенным средним арифметическим из значений признакас вероятностямив качестве весов отдельных значений.

Для дискретного равномерного распределения, задаваемого формулой (2.1), математическое ожидание вычисляется следующим образом:

. (2.5)

С возрастающими и/илиматематическое ожидание увеличивается.

Дисперсией случайной переменнойс математическим ожиданиемназывается выражение.

Для дискретной случайной величины дисперсию вычисляют по формуле

.

Дисперсия является квадратичной мерой рассеяния распределения, а стандартное отклонение линейной мерой. Это видно из следующих соотношений:

, .

Из определяющего уравнения следует, что дисперсию можно обозначать через. Ее целесообразно вычислять поформуле смещения

.

Для равномерного распределения

и, используя формулу смещения, получим

. (2.6)

С возрастанием параметров и/илидисперсия дискретного равномерного распределения увеличивается.

Представляет интерес также мера асимметрии (скошенности) распределения. В ка­честве такой меры применяют три параметра положения ина числовой оси:

распределение симметрично,

распределение с левосторонней асимметрией,

распределение с правосторонней асимметрией.

В качестве меры скошенности используют также безразмерный параметр

. (2.7)

Для этой меры имеет место:

распределение симметрично,

распределение с левосторонней асимметрией,

распределение с правосторонней асимметрией.

При левосторонней (правосторонней) асимметрии меньшие (большие) значения имеют большие вероятности, чем большие (меньшие) значения.

У дискретного равномерного распределения все выражения имеют равные вероятности появления. Можно легко проверить, что .

Пример 2.2. Дискретное равномерное распределение из примера 2.1 с параметрами иимеет следующие числовые характеристики:

,

,

,

.

Пример 2.3. В качестве генератора случайных чисел используется вращающаяся правильная призма, на десяти боковых сторонах которой написаны цифры 0, 1, …, 9. Определите получающееся при этом распределение, функцию распределения и квантильную функцию, а также числовые характеристики.

Имеем равномерное распределение с параметрами и. Тогда получим:

при ,

в противном случае.

при ,

при .

при ,

при ,

при ,

при ,

.. ...

при .

Математическое ожидание:

Дисперсия равномерного распределения:

.

Мода не определена, так как распределение не имеет наибольшее значение. Медиана . Мера скошенности- распределение симметрично.