3.3.1.2 Оперативная характеристика при гипергеометрической функции распределения числа дефектных изделий

Ранее отмечалось, что применение простого плана контроля по альтернатив­ному признаку согласно рис.3.13 эквивалентно процедуре проверки соответствующей гипотезы. Оперативную характеристику (3.53) для процедуры проверки гипотезы можно вычислить, если известно распределение контролируемой величины . Сначала рассмотрим случай, когда число дефектных изделийв выборке распределено гипергеометрически.

Из партии объемом изделий,из которых дефектны, отбираютвыборку без возвращения объемом . Переменная, отображающая количество дефектных элементов в выборке, при описанных условиях имеет распределение. Оперативную характеристику (3.53) при гипергеометрическом распределении контролируемой величиныназываютгипергеометрической оперативной характеристикой. Она имеет вид . При этом, то есть

, (3.58а)

причем . Тогда, используя вид гипергеометрического распределения, получим

. (3.58б)

На рис.3.14 изображена гипергеометрическая оперативная характеристика для плана контроля с и. Для удобства восприятия она изображена непрерывной, хотя на самом деле функция (3.58) в силуидискретна и может быть определена только в точках.

На графике (рис.3.14) оперативной характеристики видно, как у оперативного плана контроля по альтернативному признаку с изменением доли бракаизменяется вероятность приемки партии. Например, вероятность приемки партии присоставляет приблизительно, а при-. При названных уровнях дефектности партию бракуют, соответственно, с вероятностямии.Для малых значений оперативная характеристика должна в любом случае иметь большие значения (зашита инте­ресов поставщика), в то время как для больших значенийнужно стремиться к малым значениям оперативной характеристики (защита потребителя от приемки «плохой» партии). Одинаково ли защищает план контроля интересы поставщика и потребителя - на этот вопрос можно ответить, зная конкретные запросы обоих.

Рис.3.14 Гипергеометрическая оперативная характеристика для плана

Следующие иллюстрации поясняют на примерах, как изменяется вид гипергео­метрической оперативной характеристики, если изменяются отдельные пара­метры плана контроля. На рис.3.15 изображено изменение хода оперативной характеристики в зависимости от объема партии и объема выборкипри постоянном приемочном числеи отношении.

Рис.3.15 Гипергеометрическая оперативная характеристика для трех планов при постоянном отношении

Крутизна оперативной характеристики, а тем самым и мощность критерия проверки гипотезы (3.52), увеличивается при одновременном росте и. Три представленных плана предлагают различную степень защиты поставщика и потребителя. Рассмотрим, например, защиту потребителя, если он не хочет принимать партии с долей брака вили выше. Прии плане () происходит нежелательная приемка партии с вероятностью примерно, то есть потребитель защищен на. При планах () и () соответствующие вероятности составляют примернои, потребитель защищен всего наи, то есть существенно меньше.

Рассмотрим случай, когда объем партии при постоянныхиизменяется. Как показано на рис.3.16, мощность критерия проверки гипотезы (3.52) с возрастающиммедленно уменьшается.

Рис.3.16 Гипергеометрическая оперативная характеристика двух планов

Если при прочих равных условиях изменить объем выборки , то крутизна оперативной характеристики заметно изменится (рис.3.17).

Планы контроля с большим объемом выборки дают более точные результаты. Это означает, что с увеличением снижается как риск производителя, так и риск потребителя (одновременно повышается степень защищенности обоих).

При (сплошной контроль) оперативная характеристика приближается к идеальной оперативной характеристике. В рассматриваемом здесь случае прииона описывается функцией скачка:

при ,

при .

Итак, сплошной контроль соответствует применению идеального критерия.

Мощностью критерия можно управлять также путем изменения приемочного числа . С уменьшениемпри прочих равных условиях кривые оперативной характеристики будут изменяться более круто (рис.3.18).

Рис.3.17 Гипергеометрическая оперативная характеристика трех планов

Это положение часто применяют в качестве обоснования для применения планов контроля, для которых . Против применения этих планов выступает один психологический момент: и потребитель, и, прежде всего, поставщик, имеют негативное отношение к факту отклонения целой партии уже при обна­ружении одного дефектного изделия в выборке. Но тот, кто применяет план контроля по альтернативному признаку с приемочным числом, вероятно, интуитивно полагает, что проверяет особенно «строго», и тем самым, защищен от возможности принятия партии с большой долей брака. В действительности же в партиях, принятых в результате применения плана, возможна относительно большая доля брака, если доля отборамала.

Поясним это на примере семи планов (), вычислив для каждого верхнюю границудоверительного интервала для неизвестного количествадефектных изделий в партии при вероятности приемки(табл.3.12).

Таблица 3.12 Верхние границы одностороннего го доверительного интервала для числа дефектных изделий при различных планах () контроля

Объем выборки	Верхняя граница числа дефектных изделий
8	312
13	205
20	138
32	88
50	57
80	36
125	23

Рис.3.18 Гипергеометрические оперативные характеристики для трех планов

Таким образом, крутизна гипергеометрической оперативной характеристики (3.58) и тем самым мощность соответствующего критерия проверки гипотез (3.52) увеличиваются, если при прочих равных условиях:

- величина партии при постоянном относительном объеме выборкиувеличивается (рис. 3.15);

- величина партии уменьшается (рис.3.16);

- объем выборки увеличивается (рис.3.17);

- приемочное число уменьшается (рис.3.18).

Если одновременно изменяются несколько параметров плана, то описанные эффекты перекрываются. Если увеличить приемочное число при постоянстве всех прочих параметров, то крутизна оперативной характеристики уменьшится (рис.3.18). Если же одновременно увеличить объем выборки, то в результате план с большим приемочным числом будет иметь более крутую оперативную характеристику (рис.3.19).

Пример 3.21 Вычислите значения гипергеометрической оперативной характеристики для всех возможных уровней дефектности.

По зависимости (3.58а) получим:

.

Таким образом,

.

По этой формуле получаем следующие результаты:

0	1.000	0.40	0.3500	0.80	0.0333
0.04	0.9200	0.44	0.3033	0.84	0.0200
0.08	0.8433	0.48	0.2600	0.88	0.0100
0.12	0.7700	0.52	0.2200	0.92	0.0033
0.16	0.7000	0.56	0.1833	0.96	0.0000
0.20	0.6333	0.60	0.1500	1.00	0.0000
0.24	0.5700	0.64	0.1200
0.28	0.5100	0.68	0.0933
0.32	0.4533	0.72	0.0700
0.36	0.400	0.76	0.0500

Рис.3.19 Гипергеометрическая оперативная характеристика для двух планов (

Пример 3.22 Определите значения оперативных характеристик и начертите их графики:

- при;

Из равенства (3.58а) получаем: .

Таким образом, график имеет вид:

Рис.3.20 Вероятности приемки партии при для контроля по различным планам ()

Результаты соответствуют рис.3.17, где функция при постоянныхиубывает с возрастанием объема выборки.

- при.

Исходя из симметричности гипергеометрического распределения относительно параметров и, получаем:

.

Таким образом, график имеет вид:

Рис.3.21 Вероятности приемки партии при для контроля по различным планам ()

Соотношения, представленные на рис.3.21, соответствуют рис.3.18. Функция при постоянныхивозрастает с ростом приемочного числа.