2.1.2.3 Нормальный (гауссовский) закон распределения

Нормальное распределение - это наиболее важное распределение в статистике. В обеспечении качества оно играет центральную роль. Широкая область его применения объясняется тем, что случайная переменная, как правило, достаточно близко описывается этим распределением.

Нормальное распределение впервые было выведено в 1733 году Абрахамом де Муавром как предельный случай биномиального распределения и вновь открыто Карлом Фридрихом Гауссом в 1809/1816 годах как распределение погрешностей измерения.

Случайная величина (или признак качества) распределенанормально, если плотность распределения можно представить следующим образом:

для . (2.50)

Функция распределения имеет вид:

. (2.51)

Как видно из (2.50), нормальное распределение определяется двумя параметрами - и. Интеграл (2.51) нельзя представить аналитически в замкнутой форме, а только табличной.

На рис.2.10 представлены графики функций (2.50) и (2.51) при различных значениях параметров и. Параметрыиимеют смысл, соответственно,математического ожидания и дисперсии. Влияние параметров ина плотность и функцию распределения можно проследить по рис.2.10.

Изменение величины математического ожидания не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси: вправо, есливозрастает, и влево, еслиубывает. По-другому обстоит дело, если изменяется параметр(среднее квадратическое отклонение): с возрастаниеммаксимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси; при убываниинормальная кривая становится более «островершинной», концентрируясь вокруг, и растягивается в положительном направлении оси.

В силу того, что нормальное распределение одномодально и симметрично, то медиана, мода и математическое ожидание совпадают:

.

Примечания: 1. Если распределение дискретной случайной переменной имеет однозначно определенное наибольшее значение, то соответствующее ему значениеназываетсямодой распределения, а само распределение одномодальным.

2. Медиана – такое число , чтопринимает с вероятностью 0.5 как значения большие, так и меньшие.

Плотность распределения имеет две точки перегиба , а функция распределения только одну.

Рис.2.10. Нормальное распределение для трех различных значений его параметров

Важное значение занимает линейное преобразование нормально распределенной случайной переменной , после которого получается величина с математическим ожиданиеми дисперсией. Из этого следует:

.

Преобразование можно провести для каждой случайной переменной с дисперсией. Эта процедура называетсянормированием. Нормирование особенно важно для нормального распределения, так как оно позволяет все возможные варианты нормального распределения свести к единому случаю . Такое распределение называетсянормированным нормальным распределением.

Плотность нормированного нормального распределения получают из уравнения (2.50), если туда поставить и:

. (2.52)

Соответственно выглядит и функция нормированного нормального распределения:

. (2.53)

Графики функций (2.52) и (2.53) изображены на рис.2.10. Значения функции распределения (2.53) табулированы (см. таблицы ПА.1-ПА.2).

Вследствие того, что

, или , (2.54)

табл.2.2 составлена только для положительных значений аргумента. С помощью таблиц можно определить не только значения функции нормированного нормального распределения (2.53) для заданного , но и значения функции (2.51) общего нормального распределения, так как:

, (2.55а)

. (2.55б)

Используя зависимость (2.55а) и табл.2.2 можно проверить, например, следующие равенства:

;

.

Как функции (2.51) и (2.53), так и обратные функции, т.е. определенные для квантильные функциии, нельзя представить в замкнутой аналитической форме. Значения:

; (2.56)

, (2.57)

являются квантилями порядка . Для квантилей (2.56) и (2.57) имеет место следующие определения:

; (2.58)

. (2.59)

В таблицах ПБ.1-ПБ.3 представлены некоторые квантили нормированного нормального распределения.

Квантили различных распределений, как правило, табулированы (например, квантили распределения Стьюдента (псевдоним английского статистика В.Госсета), квантилираспределения Фишера, квантилираспределения и т.д.).

Аналогично (2.54) имеем

. (2.60)

С помощью табл.2.3 можно определить не только квантили (2.57) нормированного распределения, но с помощью вытекающего из соотношения

, (2.61)

также и квантили (2.56) общего нормального распределения.

Для нормально распределенной случайной переменной характерно понятие доверительный интервал. Тот интервал оси абсцисс, в котором сосредоточено значений случайной переменной,называется интервалом с доверительной вероятностью , причем - малое число, например,. Обычно используются два типа доверительных интервалов:односторонние и двухсторонние. Последние называются также центральными интервалами.

На односторонний усеченный снизу доверительный интервал приходится значений, причем больших значений случайной величины, в то время как остающиесязначения исключаются из рассмотрения (рис.2.11б). Используя квантиль, этот интервал можно записать в виде. Соответствующая доверительная вероятность

. (2.62а)

При одностороннем усеченном сверху доверительном интервале можно использовать аналогичную запись

. (2.62б)

При двухстороннем доверительном интервале с доверительной вероятностью из рассмотрения исключаютсянаименьших инаибольших значений переменной (рис.2.11а), так что интервал имеет вид. Доверительная вероятность

. (2.63)

Если распределение подчиняется нормальному закону, то согласно (2.61) и условию симметрии (2.60) выражения (2.62) и (2.63) принимают вид:

, (2.64а)

, (2.64б)

. (2.64в)

Примечание. Настоящая зависимость, но только решенная относительно математического ожидания, используется при проведении статистического приемочного контроля по количественному признаку (метод доверительных границ).

Если непрерывная случайная величина задана плотностью распределения, то вероятность того, чтопримет значение, принадлежащее заданному интервалу, такова.

С помощью настоящей зависимости можно вычислять, например, вероятность попадания случайной величины в заданный интервал для нормального распределения:

. (2.65)

Рис.2.11. Доверительные интервалы для нормально распределенной случайной переменной при доверительной вероятности

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа, то есть требуется найти вероятность осуществления неравенства.

В этом случае, заменив это неравенство равносильным ему двойным неравенством или. Тогда получим

. (2.66)

В том случае, когда , получим

.Отметим, если две случайные величины нормально распределены и , то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу, больше у той величины, которая имеет меньшее значение. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра(- есть среднее квадратическое отклонение, которое характеризует рассеяние случайной величины вокруг математического ожидания).