3.3.1.3 Биномиальная оперативная характеристика

В разделе 3.3.1.2 был рассмотрен случай, когда из партии объемом изделий,из которых дефектны, берется выборка объемомбез возвращения. Количестводефектных изделий в выборке имеет в это случае гипергеометрическое распределение. Однако когда выборка возвращается в партию, переменнаяраспределена по биномиальному закону. Вероятностьтого, что в результате проверки гипотезы (3.52) при уровне дефект­ностипринимается нулевая гипотеза, совпадает для каждогосо значением функции распределения. Если оперативную характеристику (3.53) при биномиально распределенной контролируемой величинеобозначить как, то

. (3.59а)

Функцию (3.59а) называют биномиальной оперативной характеристикой. Согласно определению эта функция записывается в следующем виде:

. (3.59б)

Взятие выборки с возвращением в практике обеспечения качества не встречается. Но биномиальная оперативная характеристика часто применяется в качестве аппроксимации для более трудных в употреблении гипер­геометрических оперативных характеристик. Учитывая биномиальное приближение, можно записать:

, (3.60а)

и тем самым, в силу (3.58а) и (3.59а), имеем:

, (3.60б)

если одновременно выполняются условия и.

При вычислении биномиальной оперативной характеристики вместо формулы (3.59) можно использовать точное отношение

(3.61)

между биномиальным распределением и бета-распределением. Из выражения (3.61) в сочетании с (3.59а) следует, что

. (3.62)

Выражение (3.62) по сравнению с (3.59а) имеет ряд преимуществ, так как численное вычисление входящих в интегралов связано с мень­шими ошибками при округлении, чем суммирование биномиальных членов в.

Из формул (3.59а) и непосредственно следует еще одна форма записи биномиальной функции оперативной характеристики:

. (3.63)

Биномиальная оперативная характеристика (3.59) при изменении иливедет себя так же, как и гипергеометрическая оперативная характеристика. Увеличение объема выборкиили уменьшение приемочного числапри прочих равных условиях увеличивают крутизну оперативной характеристики и, тем самым, мощность критерия проверки гипотезы (3.52). При одновременном изменениииотдельные эффекты перекрываются. На рис.3.22 изображены графики трех биномиальных оперативных характеристикпри постоянном.

Рис.3.22 Кривые биномиальной оперативной характеристики при постоянном отношении

Видно, что эффект увеличения (уменьшение крутизны оперативной харак­теристики, рис.3.18) компенсируется эффектом увеличения объема выборки (увеличение крутизны, рис.3.17).

При (при постоянном отношении) кривые на рис.3.22 стремятся к идеальной оперативной характеристике. Последняя есть функция скачка отдов точке.

Пример 3.23 Вычислите, используя формулу (3.60), приближение к гипергеометрической оперативной характеристики в точках,. Сравните результаты с результатами предыдущего примера.

Согласно (3.60) и (3.59б) оперативная характеристика имеет вид:

.

Получаем следующие результаты:

0	1.000	0.40	0.3600	0.80	0.0400
0.04	0.9216	0.44	0.3136	0.84	0.0256
0.08	0.8464	0.48	0.2704	0.88	0.0144
0.12	0.7744	0.52	0.2304	0.92	0.0064
0.16	0.7056	0.56	0.1936	0.96	0.0016
0.20	0.6400	0.60	0.1600	1.00	0.0000
0.24	0.5776	0.64	0.1296
0.28	0.5184	0.68	0.1024
0.32	0.4624	0.72	0.0784
0.36	0.4096	0.76	0.0576

Если сравнивать с данными предыдущего задания, то увидим, что для всех при. Различия очень незначительны.