3.2 Статистический приемочный контроль по количественному признаку

При контроле по количественному признаку (англ.: acceptance sampling for variables) интересующий нас признак качества имеет всегда непрерывное распределение. Как правило, предполагают, что признак качества в партии распределен точно или приближенно нормально. Выполнимость этого условия можно проверить, используя один из следующих критериев согласия:

- критерия («хи-квадрат») или критерия Пирсона;

- критерия Колмогорова;

- критерия Смирнова или критерия («омега – квадрат»).

Рис.3.4 Возможные действия с изделиями контролируемой партии и дефектными изделиями

Эти критерии согласия позволяют провести проверку гипотезы о соответствии опытного распределения случайной величины теоретическому.

Независимо от вида используемого критерия согласия в процессе проверки гипотезы о соответствии опытного распределения предполагаемому теоретическому распределению выполняют следующие процедуры:

- проводят измерений контролируемого параметрас помощью средства измерения с ценой деления шкалы, не превышающей 1/5 предполагаемой величины стандартного отклонения исследуемого распределения;

- полученные результаты измерений контролируемого параметра располагают в порядке возрастания (), образуя возрастающий статистический ряд;

- разделяют этот ряд на интервалов;

- подсчитывают абсолютную частость попадания измеренных значений в каждый интервал;

- рассчитывают выборочные среднее арифметическое значение и стандартное отклонениеисследуемого распределения.

При этом количество измеряемых значений контролируемого параметра должно быть больше 100, если используют критерий Колмогорова и, и больше 50 при использовании критерия.

Например, для корректного применения критерия необходимо, чтобы число интерваловс шириной, равной, в зависимости от объема выборкинаходилось в пределах:

- при

- при

- при

При критерийприменяют в исключительных случаях с количеством интервалов. Если изме­рениймало, то не следует применять критерий.

В дальнейшем при рассмотрении контроля по количественному признаку мы ограничимся однократными планами контроля, то есть планами, которые предусматривают взятие только одной выборки из партии.

3.2.1 Взаимосвязь между долей брака в партии и уровнем настройки производственного процесса

Пусть признак качества - вес, длина, диаметр, прочность, имеет точно или почти нормальное распределение. Изделие будет тогда дефектным, когда измеренное значениеслучайной величиныменьше нижнего предельного значения(наименьшее значение), больше верхнего предельного значения(наибольшее значение), или лежит вне закрытого интервала, образованного двумя заданными границами поля допуска на изготовление (табл.3.1).

Таблица 3.1 Годные и дефектные изделия при контроле по количественному признаку

Случай	Граничные значения	Изделие
		годно, если	дефектно, если
1 2 3	нижнее предельное значение верхнее предельное значение нижнее предельное значение иверхнее предельное значение , причём

Примеры. При контроле прочности нитей требуется, чтобы она была не меньше нижнего предельного значения; нити с прочностьюнужно отсор­тировать. При контроле тормозов автомашин длинапути торможения может быть использована как мера качества; тормоза с очень длинным путем торможениянужно классифицировать как дефектные. При контроле диаметрацилиндра двигателя задаются определенные границы поля допускаи; цилиндр силиуже не пригоден к употреблению.

Если признак качества имеет распределение, то для каждого из трех случаев можно легко вычислить вероятностьтого, что наугад взятое из партии изделие будет дефектным. При одностороннем задании предельных значений (одностороннее ограничение) вероятности бракасоставляют:

, (3.1а)

. (3.1б)

Аналогично при задании верхнего и нижнего предельных значений (двустороннее ограничение) следует, что:

(3.1в)

Уравнения (3.1) позволяют вычислить вероятности появления брака отдельного изделия. При достаточно большом объеме партии выражения (3.1) можно интерпретировать как формулы для вычисления уровня дефектности. Поясним подобную взаимосвязь на примере. Если каждое изделие дефектно с вероятностью 0.01, то при подсчете дефектных изделий в партиях объемомнужно рассчитывать в среднем надефектных изделий на партию. Ожидаемый в партии уровень дефектности равен.

Величину в (3.1) будем рассматривать в дальнейшем как долю брака. Как видно, значениепри заданных предельных значениях и/или зависит от величин ив партии. Выразим эту зависимость записью, то есть вместо (3.1) запишем:

, (3.2а)

(3.2б)

(3.2в)

Так как в первом случае, то есть при задании наименьшего предельного значе­ния , имеет место, то выражениеопределяет квантиль нормированного нормального распределения:

. (3.3а)

Соответственно в силу (3.2б) для второго случая выполняется:

. (3.3б)

Используя выражение (3.3), для получаем:

. (3.4а)

. (3.4б)

Итак, при одностороннем задании предельных значений можно вычислить не только долю брака при заданном, но и наоборот - определить соответ­ствующий этой доле брака уровень настройки процесса.

На рис.3.5 представлены две возможности отображения функциональной за­висимости между и, выраженной формулой (3.2а).

Оба графика построены при и, так что доля брака вычисляется по формуле. По рис.3.5 видно, что получаемые при различныхзначенияможно ин­терпретировать как площади под кривой нормального распределения.

Понятно, что доля брака при постоянном нижнем предельном значениис воз­растающимстрого монотонно убывает. Это обстоятельство показано на рис.3.5б, где изображен график.

Аналогичное рис.3.5а графическое изображение зависимости (3.2б) получают следующим образом: при сохранении обеих кривых плотности распределения вместо нижнего предельного значения отмечают верхнее предельное значение, например,, и определяют площадь фигуры под кривой плотности распределения, лежащей правее. Тогдаи. При заданном верхнем предельном значении величинас убывающимвсегда строго монотонно убывает.

При величинадостигает минимальное значение, которое равно нулю.

При двух заданных предельных значениях можно также наглядно изобразить соотношение (3.2в). Это показано на рис.3.6, где принято и.

а) представление значений функции площадями под кривой плотности распределения;

б) график функции

Рис.3.5 Доля брака как функцияпри заданном нижнем предельном значении

При заданном интервале величинасогласно (3.2в) состоит из двух частей:и.является результатом перехода через нижнее предельное значение, а- резуль­татом перехода через верхнее предельное значение. Асимптотически, то есть при, величинастремится к единице, так как одна из частейилистремится к единице, а другая - к нулю. Минимальная доля бракадостигается в середине интервала:

, (3.5а)

. (3.5б)

Выражение (3.5а) показывает, что минимальная доля брака зависит только от соотношения допускак технологическому рассеиванию, опреде­ляемому через стандартное отклонение. Если допуск больше чем, то малой долей бракаможно пренебречь, она меньше чем.

Если , то вычислениеупрощается также и при- можно пренебречь меньшим изи.

Из рис.3.6 видно, что зависимость симметрична относительно. Симметричность означает, что два математических ожиданияипри равном удаленииот обуславливают одинаковую долю брака.

Формально это доказывается с помощью формул (3.2в) и (3.5б):

(3.6)

Поэтому зависимость при двух заданных предельных значениях неоднозначна: каждой доле бракасоответствует бесконечно много значений. Только если вместе сзадается также одно из слагае­мыхили(3.2в)имеет единственное значение.

Таким образом, в партиях, состоящих из изделий, которые характеризуются имеющим распределение (постоянно) признаком качества, последнее можно охарактеризовать через долю бракаили же через уровень настройки. При задании только одного предельного значения величиныинаходятся в однозначном соответствии - качество партии можно оценить и через, и через.При задании двух границ поля допуска однозначного соответствия между ине существует. Заметим, что качество партии описывается на практике почти исключительно через долю брака , а не через уровень настройки.

Из предшествующих рассуждений следует, что поставщик, который должен придерживаться только одного предельного значения или, может сделать долю брака в партии как угодно малой. Для этого уровень настройкинеобходимо сдвинуть вверх (если задано; см. рис.3.5) или вниз (если задано), что связано для него, как правило, с большими производственными затратами.

а) изображение значений функции как площади под кривой распределения;

б) график функции

Рис.3.6 Доля брака как функцияпри двух заданных границах поля допускаи

При необходимости соблюдения двух предельных значений возможности управления процессом изготовления значительно ограничены. При постоянном технологическом рассеивании процесса можно, в лучшем случае, достигнуть некоторого минимального уровня бракапо (3.5а).

Если приемлемый уровень дефектности для плана контроля меньше чем, то поставщик вообще не способен производить партии изделий с; производственный процесс не гарантирует соблюдение требуемых качественных показателей. Поэтомуизучение возможностей технологических процессов (англ.: process capability studies) играет большую роль в контроле производства. При стабильном производственном процессе применение плана контроля вообще излишне. Если приемлемый уровень дефектности , то поставщик, если он хочет избежать частой забраковки партий, вынужден поддерживать уровень настройкипостоянно точно посрединеполя допуска. Так как это едва ли возможно, то на практике для приемлемого уровня дефектностиследует выбирать значения, превышающие минимальный уровень брака, например.

Пример 3.1 Пусть признак качества изготовляемых изделий имеет нормальное распределение. Значения признакане должны превышать наибольшего предельного значения.

а) В каком соотношении находятся и? Опишите характер зависимости.

.

С помощью этой зависимости при заданном можно вычислить соответствующую долю брака. Наоборот, в силу (3.4б) при известном, используя:

можно найти такое , что.

б) Какая доля брака соответствует значениям уровня настройки

Значения функции оформим в виде следующей таблицы:

3	0.023
4	0.159
4.5	0.309
5	0.500
5.5	0.691
6	0.841
7	0.977
8	0.999

Пример 3.2 Пусть признак качества изделий имеет распределение . Допуск на изготовление задан интервалом.

а) Вычислите минимальную долю брака и соответствующее математическое ожидание.

Согласно (3.5б) минимальная доля брака достигается при . Она составляет:

б) Пусть задана доля брака . Вычислите уровень настройки, для которого, при условии, что компонентыиравны 0.1.

Настоящее условие невыполнимо, так как равенство долей брака возможно при условии:

.

Настоящее условие верно при , а не при 0.1.

в) Вычислите значение при условии, что

Согласно (3.6) существуют два математических ожидания , для которых. При условиив силуречь может идти только о значении. Получим из (3.2в) с учетом:

Поэтому или.

Тогда получим , при котором выполняются условия:

г) Ответьте на последний вопрос, если Какие значения может иметьбез названного выше дополнительного условия?

Снова имеем два значения при, из которыхследует принять во внимание только. Используя зависимость (3.2в), получаем:

.

Следовательно, или.

Таким образом, при выполняются условия:

Без учета , наряду с, значениеможно было бы также рассматривать в качестве решения уравнения.