3.2.3 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и неизвестной дисперсии

В дальнейшем будем исходить из того, что признак качества имеет распределение, но с неизвестной заранее технологической дисперсией. Еслинеизвестна, то введенные в предыдущем разделе контрольные величиныине могут быть вычислены, так как в них входит неизвестное стандартное отклонение. Поэтому следует ввести такие контрольные величины, для вычисления которых достаточно иметь оценкунеизвестного стандартного отклонения. При последующих вычислениях ограничимся случаем, когда задано только нижнее предельное значениепризнака качества.

3.2.3.1 Контрольные величины

Если стандартное отклонение неизвестно, то по данным выборки необходимо вычислить не только выборочное среднее, которое дает несмещен­ную оценку уровня настройки, но и оценку стандартного отклонения. Для этого воспользуемся выборочным стандартным отклонением, то есть оценкусделаем по формуле:

. (3.27)

Аналогичное (3.10) условие приемки при заданном нижнем предельном значении имеет вид:

, (3.28)

где . Приемочный коэффициенти объем выборкиявляютсяпараметрами плана контроля. Как и в предыдущем разделе, вместо можно использовать и другие контрольные величины. Введенная формулой (3.11)контрольная величина формы I с областью приемки имеет в этом случае вид:

. (3.29)

Контролируемая величина с областью приемки , то естьконтроль­ная величина формы II или показатель качества, аналогично (3.13) определяется по формуле:

. (3.30)

Зависимости (3.14) и (3.15) для контрольной величины формы III необходимо изменить. Несмещенная оценка уровня дефектности в партии по оценке стандартного отклонения выражается формулой:

. (3.31)

Этой контрольной величине соответствует область приемки , где

, (3.32)

причем означает желаемую вероятность приемки при уровне дефектности, а- соответствующий квантиль нормированного нормального распределения.

В табл.3.5, составленной аналогично табл.3.2, представлены возможности выбора ращений при контроле по количественному признаку в случае задания одного предельного значения и неизвестной дисперсии. Те же данные составлены и для случая, когда задано только верхнее предельное значение .

3.2.3.2 Оперативная характеристика и построение плана контроля при заданном риске потребителя и производителя

Ранее рассматривалась вероятность приема партии при известной технологической дисперсии как функция уровня настройкии доли брака. Эти обе функции, обозначенные каки, можно вывести и для случая, когда технологическую дисперсиюнужно оценить по выборочным данным. При этом исходят из того, что задано нижнее предельное значение.

Таблица 3.5 Контролируемые величины и способы контроля по количественному признаку при одностороннем ограничении и неизвестной дисперсии

			Форма I	Форма II	Форма III
Задание	Контрольная величина
	Партия принимается, если:
	Партия бракуется, если:
Задание	Контрольная величина
	Партия принимается, если:
	Партия бракуется, если:

Примечание. В некоторых стандартах планов контроля, например ISO 3951, предлагается оценивать рассеивание процесса не по формуле(3.27), а через разброс значений показателя качества в выборке, что дает менее точные результаты, чем (3.27).

Решение о приемке или браковке партии зависит от параметров плана и, но не от выбора контрольной величины (табл.3.6). При выводевыражения для оперативной характеристики с аргументом будем исходить из контрольной величины

. (3.33)

Предположим, что объем выборки по сравнению с объемом партии отно­сительно мал, примерно. Случайная величинаимеет распределение. После нормирования и ряда элементарных преобразований получаем

(3.34а)

где . (3.34б)

Величина (3.34) имеет нецентральное распределение сстепенью свободы и параметром

, (3.34в)

характеризующим нецентрированность распределения. На основании соотношений (3.3) параметр и соответственно вероятность наступления событияможно определить как функцию от. Тогдаоперативная характеристика с аргументом будет иметь вид:

. (3.35а)

При этом параметр, характеризующий нецентрированность распределения переменной , можно выразить подобно (3.34в)

. (3.35б)

Для нахождения вероятности (3.35) можно воспользоваться таблицами нецентрального распределения. Вместо этого проведем аппроксимацию для оперативной характеристики, которая уже придает хорошие результаты.

Для вывода приближенного выражения для оперативной характеристики (3.34а) представим ее в виде

.

Переменная (3.29) имеет почти нормальное распределение с

,

.

Поэтому, если величину преобразовать в переменную, имеющую нормированное нормальное распределение, то дляполучаем приближение

.

Функция

(3.36)

является приближенным выражением для оперативной характеристики с аргументом . Формально она схожа с формулой (3.17). Однако с формулой (3.36) работать нельзя, так как неизвестно . Но из выражений (3.3а) иследует, что. Подставив это в формулу (3.36), получим приближенное выражение:

(3.37)

для оперативной характеристики с аргументом . Можно легко убедиться в том, что функция с аргументом и при заданном предельном значениивыражается через (3.37). Путем сравнения (3.37) и (3.19) приходим к выводу, что приближенные выражения для оперативной характеристики при известном или неизвестном стандартном отклоненииотличаются только коэффициентом.

Иногда вместо (3.37) предлагается более точная аппроксимация функции , а именно

. (3.38)

В табл.3.6 для параметров иданы значения функции оперативной характеристики: в колонке 2 - вычисленные при применении нецент­ральногораспределения по формуле (3.35), в колонке 3 - приближенные значения, вычисленные по (3.37). По таблице видно, что приближение (3.37) для столь малого объема выборкипри малых уровнях дефектности вполне удовлетворительно. Прионо менее точно, так как здесь проявляется асимметрия нецентральногораспределения.

Таблица 3.6 Точные и приближенные значения оперативной характеристики для плана (5;1.4)

	точно	приближенно
1	2	3
0.001	0.995	0.996
0.0025	0.985	0.987
0.004	0.975	0.977
0.010	0.934	0.930
0.025	0.837	0.813
0.040	0.751	0.712
0.065	0.628	0.572
0.100	0.490	0.425
0.150	0.343	0.282
0.250	0.164	0.124

При разработке плана контроля, оперативная характеристика которого проходит через точки () и (), как правило, исходят из выражения (3.37). Тогда для параметровиискомого плана получаем следующие выражения:

, (3.39а)

. (3.39б)

Если в (3.39б) получается нецелочисленным, то полученное значение округляют до ближайшего целого числа.

Чтобы параметры плана контроля, вычисленные по формуле (3.26) при известной дисперсии, можно было сравнить со значениями, полученными по формуле (3.39) при неизвестной дисперсии, как правило, вводят соответствующую индексацию. Например используют обозначение идля параметров плана, получаемые при известной дисперсии, ии- для параметров, получаемых с помощью выборочной дисперсии. При сравнении (3.26) и (3.39) видно, что иодинаковы, а объем выборкивраз больше, чем.

Пример 3.11 Определим план контроля по количественному признаку, отвечающий условиям: приипри. Будем исходить из того, что дисперсия неизвестна.

Если в формулу (3.39а) подставить квантили, то сначала получим:

.

С помощью формулы (3.39б) получаем:

,

то есть . Ранее для примера с известной дисперсией был получен объем выборки, то есть при эквивалентности оперативных характеристик объем выборки получается на 64 % большим.

Пример 3.12 Выведите аналогичную (3.21б) приближенную формулу для вычисления квантилей оперативных характеристик (3.36) и (3.37).

Введем обозначение . Квантильприближенного выражения для оперативной характеристикисогласно (3.36) равен:

.

Подставляя в (3.2а), получим формулу для квантиляприближенного выражения для оперативной характеристики (3.37):

.

Пример 3.13 Значения объема выборки и приемочного коэффициента плана при неизвестной дисперсии равны . Какие значения имеет оперативная характеристикасогласно зависимости (3.37) в точках.

При из (3.37) получим:

.

.

Пример 3.14 Вычислите приблизительно квантили .

Квантили функции вычисляются по формуле, где. Тогдаи

,

,

.

Пример 3.15 Какие общие выводы можно сделать из сравнения графиков оперативной характеристики при известной и неизвестной дисперсии.

При численно согласованных планах контроля оперативная характеристика при известной дисперсии протекает более круто.