3.2.2.3 Построение плана выборочного контроля при заданных рисках производителя и потребителя

Рассмотрим вопрос о выборе план контроля по количественному признаку, для которого кривая оперативной характеристики проходила бы приблизительно через две заданные точки. Будем по-прежнему исходить из известной дисперсии .

Пусть заданы значения приемлемого уровня дефектности и браковочного уровня с соответствующими рисками производителя и потребителя(). Параметрыиодноступенчатого плана контроля должны быть определены так, чтобы для оперативной характеристики, заданной формулой (3.19), выполнялись условияи. Здесь не имеет значения, какого предельного значения мы будем придерживаться - верхнего или нижнего, так как функцияв обоих случаях одинакова (табл.3.4). Оба названных условия для функциив силу целочисленности объема выборкине могут выполняться точно, а только приблизительно:

(3.22а)

(3.22б)

причем и. Рискииназываютдействительным риском производителя и действительным риском потребителя, а желаемые риски и-предписанным риском производителя и предписанным риском потребителя. Для обеспечения надежности решения требуется, чтобы и, то есть:

(3.23а)

(3.23б)

Эти неравенства в силу (3.19) эквивалентны следующим:

, (3.24а)

. (3.24б)

С помощью таблицы квантилей нормированного нормального распределения легко убедиться, что вместо (3.24) можно записать:

, (3.25а)

. (3.25б)

Отсюда с учетом того, что , можно определить параметрыи:

, (3.26а)

. (3.26б)

Полученное с помощью (3.26а) значение нужно всегда округлять до большего целого числа. Определенный таким образом план будет минимален по объему.

Пример 3.9 Нужно определить план выборочного контроля () по количественному приз­наку, который отвечает условиям:приипри.

Параметры иплана выборочного контроля по количественному признаку вычисляются по зависимостям (3.26). С помощью данных таблицы квантилей нормированного нормального распределения вычислим сначала квантили:

Подставляя эти значения в (3.26), получим:

, то есть .

.

Согласно (3.22) этому плану вместо соответствует действительный риск производителя

,

а вместо - действительный риск потребителя

.

Используя вновь данные таблицы квантилей нормированного нормального распределения, получаем:

Найденный план контроля ведет к уменьшению риска производителя и потребителя по сравнению с запланированным риском.

Контроль по количественному признаку влечет за собой значительное сокращение объема выборки и, следовательно, уменьшение среднего числа проконтролированных изделий.

На рис.3.10 для плана контроля с параметрами иизображен график оперативной характеристики. Для изобра­жения оси, как на рис.3.9, необходимо задать подходящие значения содержа­щимся в формуле (3.4) величинамиили. Выбереми максима­льное значение границы допуска. При заданном значениипараметрвычисляется согласно (3.4б) по формуле. В силу того, чтоисвязаны между собой строго монотонной нелинейно возрастающей зависимостью, направления их изменений совпадают. Значение безразличного уровня дефектностина осизадано точкой, на оси- точкой.

Рис.3.10 График оперативной характеристики плана (14;1.1931) при заданном верхнем предельном значении

Пример 3.10 Размеры изделий с признаком качества , имеющим распределение, должны быть меньше нижнего предельного значенияВыполнение этого условия контролируется одноступенчатым планом (10;2). Вычислите оперативную характеристику этого плана с аргументом. Какие значения она принимает в точках.

В результате подстановки ив зависимость (3.17) получаем:

.

По таблице нормированного нормального распределения:

Вычислим квантили оперативной характеристики .

Квантили функции вычисляются по зависимости (3.21а):

.

По таблице квантилей нормированного нормального распределения получаем:

.

Определим оперативную характеристику . Какие значения имеет функцияв точках?

Аналогично первому пункту задания с помощью формулы (3.18б) получаем , и поэтому:

.

Вычислим квантили .

Квантили функции согласно (3.21б) задаются формулой.

По таблице нормированного нормального распределения находим, что:

.