2.2.1.2.1.3Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонениянормального распределения

Вспомним, что , где- являются независимыми нормально распределенными случайными величинами. Тогда распределение выборочной характеристики

(2.85)

называется центральным хи-квадрат-распределением (распределением) сстепенями свободы.

Если в уравнении (2.85) математическое ожидание генеральной совокупности заменить средним значением выборки, то получаемая переменная величина в случае выборки с возвращением имеетраспределением сстепенями свободы

. (2.86)

Числовыми характеристиками распределения сстепенями свободы являются:

;

.

Квантильной (обратной) функцией является:

. (2.87)

При приближение (2.87) к нормальному распределению с параметрамииявляется достаточно точным, так что квантили приблизительно можно заменить квантилями нормального распределения

при . (2.88)

При распределение переходит в экспоненциальное распределение с параметром.

Укажем на связь распределения с распределением Пуассона:

. (2.89а)

Допустим, что , тогда получим:

. (2.89б)

Существует две области применения распределения:

- с помощью распределения можно делать оценки и проверять гипотезы относительно дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности;

- распределение вследствие отношений (2.89) с распределение Пуассона можно использовать при составлении планов контроля при приемочном контроле по качественному признаку.

Рассмотрим первую область применения распределения, используя (2.86). По определению квантилейвсех реализаций выборочной характеристикилежат в двухстороннем доверительном интервалепри доверительной вероятности. Аналогично (2.63) имеем:

. (2.90)

Таким образом, доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности при надежностиопределяется следующей формулой:

. (2.91)

Для оценки доверительного интервала выборочной дисперсии имеем:

. (2.92)

Пример 2.33. Количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объеманайдена «исправленная» дисперсия. Найти доверительный интервал, покрывающий дисперсиюс надежностью.

По таблице квантилей распределения дляинаходим, а. Таким образом,

.

Другими словами, относительная погрешность оценки лежит в интервале. Это означает, что неизвестная дисперсиянедооценивается максимум на 39 % и переоценивается максимум на 124 %.

Пример 2.34. Количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объеманайдена «исправленная» дисперсия. Найти доверительный интервал, покрывающий дисперсиюс надежностью.

По таблице квантилей распределения дляинаходим, а. Таким образом,

.

Другими словами, относительная погрешность оценки приблизительно лежит в интервале. Это означает, что неизвестная дисперсиянедооценивается максимум на 1 % и переоценивается максимум на 13 %.