2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно

Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонениенеизвестно. Требуется оце­нить неизвестное математическое ожиданиес помощью доверительных интервалов. Разумеется, невозможно вос­пользоваться предыдущими результатами, в ко­торыхпредполагалось известным.

Введем по данным выборки случайную величину (ее возможные значения будем обозначать через ):

, (2.78)

которая имеет распределение Стьюдента (настоящее имя William Sealy Gosset) с сте­пенями свободы. Здесь- выборочная средняя;- «исправленное» среднее квадратическое отклонение;- объем выборки.

Плотность распределения Стьюдента:

, (2.79)

где . (2.80)

Мы видим, что распределение Стьюдента определяется параметром - объемом выборки (или чис­лом степеней свободы) и не зависит от неиз­вестных параметрови. Эта особенность является большим достоинством распределения Стьюдента. Поскольку - четная функ­ция от, вероятность осуществления неравенстваопределяется так:

. (2.81)

Заменим неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим:

. (2.82)

Итак, пользуясь распределением Стьюдента, определяют доверительный интервал , по­крывающий неизвестный параметрс надежностью. Здесь случайные величиныизаменены неслучайными величинамии, найденными по выборке. Воспользуемся зависимостью (2.76), получим:

. (2.83)

Итак, поставленная задача решена. Число определяется из равенстваили. По соответствующим таблицам квантилейраспределения Стьюдента по заданнымиможно найти.

Примечание. В национальном стандарте ГОСТ Р 50779.21 «Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение» приведен следующий алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии.

Исходные данные: объем выборки - ; сумма значений наблюдаемых величин -степени свободы -; выбранная доверительная вероятность -.

Алгоритм вычислений: по таблицам определяют квантили распределения Стьюдента уровня сстепенями свободы -и; вычисляюти.

Тогда точечная оценка математического ожидания -.

Точечная оценка дисперсии - .

Двухсторонний симметричный доверительный интервал для математического ожидания :

или .

Односторонние доверительные интервалы для математического ожидания :

или

.

Следствием настоящих зависимостей является алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением математического ожиданияпри неизвестной дисперсии:

- в двухстороннем случае предположение равенства выборочного среднего значения и заданного математического ожидания(нулевая гипотеза)отклоняется, если:

;

- в одностороннем случае предположение о том, что выборочное среднее не меньше чем(нулевая гипотеза)отклоняется, если:

;

- в одностороннем случае предположение о том, что выборочное среднее не больше чем(нулевая гипотеза)отклоняется, если:

.

В качестве примера использования – проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение, при этом точность технологического процесса заранее неизвестна. Невы­полнение этих условий свидетельствует о несоответствии фак­тического центра группирования контролируемого параметра в изготавливаемой партии изделий центру поля допуска, что мо­жет привести к повышению уровня брака на последующих тех­нологических операциях.

Метод может быть использован и при контрольных проверках, например, при отпуске бензина или масел на автозаправочных станциях, когда необходимо ответить на вопрос: являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.

Настоящий подход применяется при решении задачи о сравнении двух неизвестных средних значений ипри неизвестных, но равных дисперсиях. В этом случае высчитывают:

- ;

- ;

- степени свободы ;

- .

Тогда сравнение средних значений двух совокупностей:

- в двухстороннем случае предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

;

- в одностороннем случае предположение о том, что первое среднее не меньше второго(нулевая гипотеза)отклоняется, если:

;

- в одностороннем случае предположение о том, что первое среднее не больше второго(нулевая гипотеза)отклоняется, если:

.

В качестве примера использования – оценка стабильности технологического процесса, при этом измерения контролируемого параметра осуществляют в двух выборках объемомисоответственно, взятых в началеи концеинтервала времени, в течение кото­рого контролируется стабильность технологического процесса.

Применение этих задач встречается чаще, так как в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.

Пример 2.32. Количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объеманайдены выборочное среднееи «исправленное» среднее квадратическое откло­нение. Необходимо оценить неизвестное математическое ожиданиепри помощи доверительного интервала с надежностью.

Найдем . Пользуясь таблицей квантилейраспределения Стьюдента, приинаходим для.

Найдем доверительные границы:

Итак, с надежностью неизвестный параметрзаключен в доверительный интервал.

Примечание. Из предельных соотношений

; , (2.84)

следует, что при неограниченном возрастании объема выборки распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически приможно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением.

Однако важно подчеркнуть, что для малых выборок , в особенности для малых значенийзамена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, а именно к неоправданному сужению довери­тельного интервала, т. е. к повышению точности оценки. Например, еслии, то, используя таблицу квантилей распре­деления Стьюдента, найдем, а таблицу нормированного нормального распределения, найдем, т.е. доверительный интервал в последнем случае окажется более узким, чем найденный по распределению Стьюдента.

То обстоятельство, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результата (широкий доверительный интервал), вовсе не свидетельствует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка содержит малую информацию об интересующем нас признаке.