3.3.1.4 Оперативная характеристика при распределении Пуассона

Предположим, что число на рис.3.13 обозначает не количество дефектных изделий в выборке, а количество дефектов в выборке. Обозначим переменную в этом случае как. Каждое изизделий партии может быть теперь не просто годным или дефектным, но иметь несколько дефектов. До сих пор уровень дефектности мы характеризовали числомдефектных элементов в партии (абсолютная мера) или долей брака(относительная мера). Аналогично уровень дефектности можно описать с помощью числа дефектовили с помощью среднего числа дефектовна изделие. Как и раньше, проверяются гипотезы (3.52), причем в этом случае доля бракаизаменяется на среднее число дефектови.

Количество дефектов в ом изделии партии является случайной величиной. Допустим, что случайные величинынезависимы и имеют распределениес. Математическое ожидание распределения Пуассона, то есть каждое изделие партии имеет в среднемдефектов. На основании свойства воспроизводимости распределения Пуассона общее число дефектов в выборкетакже имеет распределение. Чтобы правильно объяснить описанную ситуацию в партии и выборке, сравним ее с ситуацией, принятой в разделе 3.3.1.2 (табл.3.13).

Таблица 3.13 Две основные ситуации при приемочном контроле

Засоренность партии с изделиями	Относительная мера для оценки уровня дефектности	Контролируемая величина и ее распределение	Математическое ожидание контролируемой величины
В партии дефектных элементов	Доля брака	Число дефектных изделий в выборке (выборка с/без возвращения)

Продолжение табл. 3.13

В партии имеем

Среднее число

Число дефектов в выборке

Поскольку , то вероятность

(3.64)

того, что контролируемая величина в случае(- число дефектов на изделие) попадает в областиприемки партии, равна. Вероятность принятия партии со средним числом ошибокна изделие в силу определения функции распределения Пуассона составляет:

. (3.65)

Оперативную характеристику для распределенной по Пуассону контролируемой величины называютоперативной характеристикой Пуассона.

Как и биномиальная оперативная характеристика, так и оперативная харак­теристика Пуассона применяется для аппроксимации гипергеометрической оперативной характеристики. Используя приближение, получим:

, (3.66а)

причем . В силу того, что, (3.66а) и (3.65), следует:

(3.66б)

в случае если одновременно выполняются условия: (или) для доли брака и,для объема и доли отбора выборки.

Оперативную характеристику Пуассона используют и для ап­проксимации биномиальной оперативной характеристики. При использовании зависимости приближения распределением Пуассона, получим

(3.67а)

в случае если объем выборки и доля бракаотвечают условиями. Вместо (3.67а) в силуи (3.65) можно записать:

. (3.67б)

Следует обратить внимание на то, что в выражении, примененном в (3.66б) и (3.67б) для аппроксимации гипергеометрической или биномиальной оперативных характеристик

(3.68)

в аргументе присутствует доля брака , а не среднее число дефектов, как в (3.65). Данное выражение также является оперативной характеристикой Пуассона, так как в (3.65) и (3.68) формально речь идет об одной и той же функции. На практике вместо трудных в применении гипергеометрическойи биномиальнойоперативных характеристик чаще используют оперативную характеристику Пуассона.

В силу эквивалентного через распределение соотношенияформулам (3.65) и (3.68) эквивалентны следующие зависимости:

, (3.69а)

. (3.69б)

Подставляя в выражение для гамма-распределения, получим:

, (3.70а)

. (3.70б)

Пример 3.24 На предприятии, изготавливающем фотоаппараты, приемочный контроль лаки­рованных корпусов проводится между лакированием и окончательной сборкой. Предположим, что число дефектов на корпус (при лакировании) распределено по закону Пуассона. Интенсивностьв этом случае имеет значение среднего числа дефектов на корпус. Здесь можно применить план контроля, согласно которому партии принимаются в случаес вероятностью не менее 95 %, а в случаес вероятностью не более 10 %.

Имеем следующий план контроля: из партии объемом корпусов берется выборка объемом. Если у этих пятидесяти корпусов будут обнаружены не более десяти дефектов, то партию отправляют на сборку. Если обнаружено более десяти дефектов в выборке, то партия будет отправлена на доработку. Отвечает ли план контроля названным условиям?

План построен на основании гипотез и. При контроле в качестве контролируемой величины выступает число дефектов в выборке, имеющее распределение.

Гипотеза (а тем самым и партия) будет принята, если. Вероятность приемки партии в случаедля каждогозадается формулой (3.65), если в нее подставитьи:

.

При илипо данным таблицы распределения Пуассона получаем

,

.

В силу того, что функция строго монотонно убывает по, то имеет место при, а при. Партия корпусов будет принята с вероятностью не менее 98.6 %, если. Поэтому выполняется только требование, касающееся случая. Если в качестве приемочного числа выбрать, то получим план, отвечающий обоим требованиям. В этом случае партию принимают, если. Тогда

,

.

Тем самым, вероятность принятия партии при измененном плане контроля для составляет не менее 96.8 %, а дляне менее 7.0 %.

Пример 3.25 Изменим предыдущий пример так, чтобы контролируемой величиной было не число дефектов , а число дефектных изделийв выборке. Договоримся, что корпус будет считаться дефектным, если на нем обнаружен один или несколько дефектов. План контроля выглядит следующим образом: если в выборке объемом, взятой из партии объемом, обнаружено не более 7 дефектных корпусов, то партия принимается, в противном случае она бракуется. С какой вероятностью при этом плане будут приниматься партии, еслиили?

Искомые вероятности приемки партии определяются по формуле (3.58а), так как контролируемая величина распределена гипергеометрически. Чтобы при­менить формулу (3.58а), нужно сначала вычислить долю брака. В силу того, что число дефектовна корпус согласно предположению имеет распределение, то вероятность того, что корпус будет принят как «годный», составляет. Корпус бракуется с вероятностью. Прикорпусов следует ожидать, что число дефектных корпусов составит. Величина, округленная до ближайшего большего целого числа, соответствует значению параметрагипергеометрического распределения

.

При иполучаем значения

,

.

Поскольку , принужно рассчитывать на долю брака, а прина. Соответствующие вероятности приемки партиис учетом таблиц гипергеометрического распределения составляют:

,

.

Как видим, намеченный план контроля отвечает названным в предыдущем примере условиям, то есть при(что соответствует) партия будет принята с вероятностью не менее 95.8 %, а в случае(что соот­ветствует) с вероятностью не более 8.65 %.

Пример 3.26 Вычислите иприближения для функцийив точкахпри. Сравните с результатами, полученными в примере 3.23.

Согласно полученным зависимостям

, .

Функции иможно выразить следующим образом

.

Для получаются результаты, представленные в виде таблицы

0	1.0000	0.04	0.9231	0.08	0.8521	0.12	0.7866
0.16	0.7261	0.20	0.6703	0.24	0.6188	0.28	0.5712
0.32	0.5273	0.36	0.4868	0.40	0.4493	0.44	0.4148
0.48	0.3829	0.52	0.3535	0.56	0.3262	0.60	0.3012
0.64	0.2780	0.68	0.2567	0.72	0.2369	0.76	0.2187
0.80	0.2019	0.84	0.1864	0.88	0.1720	0.92	0.1588
0.96	0.1466	1.00	0.1353

Если данную таблицу сравнить с таблицами из предыдущих примеров, то можно увидеть, что для всех привыполняется условие:

.

Следует отметить, что в точке в противоположность двум другим оперативным характеристикам больше нуля.

Пример 3.27 Вычислите значения оперативной характеристики ив точкахпри.

Для гипергеометрической оперативной характеристики

и приближенных выражений для нее

,

получаем значения, представленные в следующей таблице

0	1.0000	1.0000	1.0000
0.02	0.8400	0.8508	0.8521
0.04	0.7029	0.7214	0.7261
0.06	0.5857	0.6096	0.6188
0.08	0.4860	0.5132	0.5273
0.10	0.4015	0.4305	0.4493
0.12	0.3301	0.3596	0.3829
0.14	0.2701	0.2992	0.3263
0.16	0.2198	0.2479	0.2780
0.18	0.1780	0.2044	0.2369
0.20	0.1432	0.1678	0.2019
0.22	0.1146	0.1370	0.1720
0.24	0.0911	0.1113	0.1466
0.26	0.0719	0.0899	0.1249
0.28	0.0564	0.0722	0.1065
0.30	0.0438	0.0576	0.0907

Видно, что для всех привыполняется условие:

.

Начертите теперь графики оперативных характеристик.

Пример 3.28 Какие значения принимает оперативная характеристика Пуассона в точкахи.

По (3.68) оперативная характеристика. По таблице распределения Пуассона находим:

,

,

,

.

Пример 3.29 Вычислите при.

По (3.68) оперативная характеристика . По таблице распределения Пуассона находим:

,

,

,

.

Пример 3.30 Вычислите при.

По (3.68) оперативная характеристика . По таблице распределения Пуассона находим:

,

,

,

.