3.3.4.2 Оперативная характеристика

Выведем выражение для оперативной характеристики двукратного плана. При этом мы будем исходить из двукратного плана контроля без прерывания, так как прерывание не меняют оперативную характеристику.

При реализации двукратного плана контроля (см. рис.3.32) возможны четыре исхода. Вероятность каждого исхода зависит от уровня дефектности .

• Приемка партии на основании результатов контроля первой выборки (траектория 2 на рис.3.32) с вероятностью .

• Браковка партии на основании результатов контроля первой выборки (траектория 1) с вероятностью .

• Приемка партии на основании результатов контроля второй выборки (траектория 4) с вероятностью .

• Браковка партии на основании результатов контроля второй выборки (траектория 3) с вероятностью .

В соответствии с определением двукратного плана контроля эти вероятности находятся следующим образом:

, (3.124а)

, (3.124б)

, (3.124в)

. (3.124д)

Поскольку возможные исходы образуют полную группу событий, то

. (3.125)

Таким образом, легко вычислить, если известны вероятности (3.124а-в). Чтобы определить, рассмотрим сначала ту реализациюпеременной, которая ведет к необходимости отбора второй выборки, то есть при. Для того, чтобы в дальнейшем партия была принята, нужно, чтобы во второй выборке было не большедефектных изделий. Вероятность появления сложного события «» равна произведению вероятностей этих событий. Тогда вероятностьравна сумме таких произведений по всем возможным значениям

. (3.126)

Вероятность того, что при использовании двукратного плана придется брать вторую выборку, обозначают как вероятность продолжения контроля :

. (3.127)

Вероятность того, что партия при данном уровне дефектности будет принята после контроля первой или второй выборки, обозначают полной вероятностью приемки . Если уровень дефектности меняется, то есть если вероятность приемки партии рассматривают как функцию уровня де­фектности , то называют оперативной характеристики рассматри­ваемого плана:

. (3.128)

Согласно (3.124а) и (3.126) представим оперативную характеристику в следующем виде:

. (3.129)

Количество обнаруженных дефектных изделий при взятии выборки без возвращения имеет гипергеометрическое распределение. Поэтому из формулы (3.129) получаем:

. (3.130а)

Эту функцию называют гипергеометрической оперативной характеристикой двукратного плана контроля .Биномиальная оперативная характеристика

(3.130б)

и оперативная характеристика Пуассона

(3.130в)

находят свое применение для аппроксимации (3.130а).

Пример 3.55 В таблице 3.28 представлены вероятности приемки и браковки партии при применении двухступенчатого плана контроля с при различных долях брака. Вычисления в табл.3.28 проводились для биномиального распределения.

Таблица 3.28 Вероятности приемки и браковки партии при двукратном плане контроля

1	2	3	4	5	6	7
0.020	0.736	0.003	0.253	0.008	0.261	0.989
0.027	0.608	0.011	0.344	0.037	0.381	0.952
0.040	0.400	0.049	0.372	0.179	0.551	0.772
0.060	0.190	0.179	0.188	0.443	0.631	0.378
0.080	0.083	0.371	0.051	0.495	0.546	0.134
0.085	0.067	0.422	0.034	0.477	0.511	0.101
0.100	0.034	0.569	0.009	0.388	0.397	0.043
0.120	0.013	0.732	0.001	0.254	0.255	0.014

Поясним порядок вычисления значений, содержащихся в таблице, на примере строки с . Вероятностиинаходим по зависимости (2.28) и округляем их до трех десятичных знаков

,

.

Для согласно (3.126) получаем:

Вероятность вычисляем с помощью зависимости (3.125):

.

Таким образом, для вероятности продолжения контроля (3.127) и полной вероятности приемки(3.128) получаем:

,

.

На рис.3.34 изображены графики оперативной характеристики и за­висимостейи. Как видно, вероятность продолжениявелика для средних значений уровня дефектностии уменьшается с увели­чением или снижением уровня дефектности.

Рис.3.34 Оперативная характеристика и другие вероятности при двукратном плане

Пример 3.56 Вычислите для описанного в примере 3.55 двукратного плана контроля при вероятности (3.124), (3.127) и (3.128), применяя аппроксимацию Пуассона.

Воспользуемся зависимостью (2.37), получим:

,

,

,

,

,

.

Пример 3.57 Определите для двукратного плана контроля при , в случаевероятности (3.124), (3.127) и (3.128), исходя из гипергеометрического распределения.

Воспользуемся зависимостью (2.17), получим:

,

,

,

,

,

.