2.3.3 Обеспечение представительности выборок

Для отбора представительной выборки необходимо обеспечить однородность партии и предупредить смешивание неоднородных подпартий. Сохранение однородности партии необходимо для того, чтобы после проведения контроля заключение было сделано именно о той партии единиц продукции, из которой была произведена контрольная выборка.

Если сформировать однородную партию продукции не уда­ется, но можно выделить однородные части, то для обеспечения от­бора представительной выборки следует использовать расслоение партии. В этом случае в выборку отбирают единицы продукции от каждой однородной части пропорционально объему этой части.

При формировании выборки обязательным условиям явля­ется ее случайность. Наилучшим образом случайность выборки обеспечивает­ся применением таблиц случайных чисел, что позволяет исключить систематические ошибки отбора и обеспечи­вает независимость и равную вероятность попадания каждой еди­ницы продукции в выборку.

Метод систематического отбора обеспечивает равную ве­роятность попадания каждой единицы продукции при случайном смещении начала отсчета, но не обеспечивает независимости попа­дания единицы продукции в выборку.

Метод «вслепую» обеспечивает независимость попадания единиц продукции в выборку, но не обеспечивает равную вероят­ность попадания единиц продукции в выборку.

Если продукция однородна и поступает на контроль в хо­рошо перемешанном виде, все методы приводят к одинаковым ре­зультатам, так как представительность обеспечивается однород­ностью продукции, а случайность — ее предварительным переме­шиванием (случайность попадания на каждое определенное место).

2.3.4 Выборочные характеристики и их свойства

Каждый элемент случайной выборки является реализацией одной из случайных величин. Последние образуют в своей совокупностивектор выборки (англ.: sample vector):

. (2.129)

Компоненты мерной случайной переменнойупорядочены в после­довательности их получения. Если выборка уже взята, то наряду сможно применить векторную запись

. (2.130)

Итак, является реализацией вектора выборки.

Как и для одномерной случайной переменной, распределение случайной многомерной переменной можно полностью охарактеризовать посредством функций распределения или плотностей распределения. Эти функции определяются теперь на векторах (функции нескольких переменных), а не на скалярах (функции с одной переменной).

Практика, однако, показывает, что работать с векторами сложно. Проще применять скалярную выборочную характеристику или статистику . Выборочную характеристику рассматривают как про­цедуру сведения переменных вектора выборки к одной переменной. Если выборочную характеристику применяют для приближенного описания свойств генеральной совокупности, то она называетсяоценкой (англ.: estimator). Если же ее используют для проверки некоторых гипотез относительно генеральной совокупности, то ее называют контрольной или тестовой переменной (англ.: test statistic).

Одну и ту же выборочную характеристику можно применять как для оценки, так и для проверки гипотез. Рассмотрим наиболее распространенные в области статистического обеспечения качества выборочные характеристики.

При провидении контроля по качественному признаку сумма

(2.131)

может быть использована как контрольная величина. Если элементы выборочного вектора принимают только значенияили, то есть если, тоявляется числом дефектных изделий в выборке.

При контроле по количественному признаку наиболее часто применяют:

- выборочное среднее значение (среднее арифметическое значение; эмпирическое среднее; англ.: sample mean):

· если все значения признака выборки объемаразличны, то

; (2.132)

· если значения признака имеют соответственно частоты, причем, то

, (2.133)

т.е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам;

- рассеяние выборки (эмпирическая дисперсия; англ.: sample variance):

· если все значения признака выборки объемаразличны, то

; (2.134)

· если значения признака имеют соответственно частоты, причем, то

, (2.135)

т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам;

- выборочное стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение; эмпирическое стандартное отклонение; англ.: sample standard deviation):

. (2.136а)

- дисперсия среднего арифметического :

. (2.136б)

Примечание. В качестве примера рассмотрим интервальную оценку с помощью выборочного среднего значения математического ожидания нормального распределения генеральной совокупности и известной дисперсией. По результатам отобранной из этой совокупности выборки объемомполучаем выборочное среднее арифметическое, которое является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с дисперсией (2.117б). Задавшись доверительной вероятностью , двухсторонний доверительный интервал для математического ожидания имеет вид (43в):

. (2.136в)

Настоящая зависимость используется при проведении статистического приемочного контроля по количественному признаку – метод доверительных границ.

Другими выборочными характеристиками, которые применяются при контроле по количественному признаку, являются экстремальные значения, медиана и размах выборки.

Если элементы выборочного вектора расположить в возрастающем порядке и обозначить ый элемент результирующего вектора как, товыборочные экстремальные значения (англ.: sample extreme values) можно представить в виде:

- наименьший элемент выборки; (2.137)

- наибольший элемент выборки. (2.138)

Выборочная медиана (англ.: sample median) определяется как

если

если

(2.139)

а размах выборки (англ.: sample range) определяется как

. (2.140)

Отметим, что каждая выборочная характеристика случайной переменной является также случайной переменной.

Применение скалярной выборочной характеристики вместо выборочного вектора позволяет:

- уменьшить размерность данных;

- сделать выводы о неизвестном распределении генеральной совокупности.

В обеспечении качества выборочная характеристика дает информацию о неизвестных значениях параметров распределения генеральной совокупности.

Пример 2.45. 1. Найти групповые средние совокупности, состоящей из двух групп:

- первая группа - ;

- вторая группа - .

_.

2. Найти общую среднюю по данным предыдущей задачи двумя способами:

- объединить обе группы в одну совокупность;

- использовать найденные в предыдущей задаче групповые средние.

_.

3. Дано распределение статистической совокупности. Найти дисперсию совокупности:

- исходя из определения дисперсии;

- пользуясь формулой .

.

Общая средняя: .

Средняя квадратов значений признака:

.

Тогда.

Вопросы для самопроверки

1. Какие бывают распределения признаков качества?

2. Случайные величины дискретного типа: модели распределения и их свойства.

3. Случайные величины непрерывного типа: модели распределения и их свойства.

4. Приведите определение статистической гипотезы.

5. Виды ошибок при проверке статистических гипотез.

6. Что такое риск потребителя и риск производителя?

7. Приведите нормативные значения риска потребителя.

8. Что такое «область отклонения гипотезы» и «область принятия гипотезы»?

9. Какова процедура проверки статистической гипотезы?

10. Приведите примеры проверки статистических гипотез.

11. Последовательный анализ: назначение и механизм проведения?

12. Основные понятия теории выборочного метода.

13. Методы реализации случайного отбора выборок штучной продукции.

14. Механизм обеспечения представительности выборок.

15. Основные свойства выборочных характеристик.