4.2. Дисперсионное уравнение нормальных колебаний кристалла
Отклонение одного
атома от положения равновесия приводит
к появлению возмущения, которое
распространяется вдоль цепочки, доходит
до последнего атома (до границы),
отражается и идет в противоположном
направлении к другому концу цепочки,
здесь оно вновь отражается и т.д. В
результате возникают волны, бегущие в
противоположных направлениях, наложение
которых приводит к образованию стоячих
волн. Поэтому решение уравнения (4.1)
ищется в виде стоячей волны с круговой
частотой
и волновым числом
:
. (4.2)
где
– равновесное расстояние между атомами.
Учитывая граничные условия
,
имеем
,
. (4.3)
Таким образом,
смещение
можно представить в виде суперпозиции
волн
:
. (4.4)
В теории твердого
тела волны
известны как нормальные колебания
(их электродинамический аналог называют
собственными волнами (колебаниями)
системы). Вычисление правой части (4.1)
для
-го
нормального колебания дает
Так как
,
то из (4.1) следует дисперсионное
уравнение нормальных колебаний:
|
|
Рис. 4.1. |
Рис. 4.2. |
. (4.5)
В
цепочке из
атомов возможно появление стоячих волн
с различными частотами
(
).
Этим частотам
соответствует
волновых чисел
(4.3) или различных длин волн
.
При самой большой длине волны
во всей цепочке укладывается одна
полуволна. С ростом
от 0 до
частота нормальный колебаний увеличивается
и при
(минимальная длина волны
)
достигает максимального значения
(Рис. 4.1). Наглядную картину о формировании
нормальных колебаний дает рис. 4.2, который
отражает поперечные смещения атомов
линейной цепочки. Её можно трактовать
как струну. При закрепленных концах
цепочки основное колебание, отвечающее
самой низкой частоте
,
соответствует стоячей волне с узлами
на концах (рис. 4.2, б, кривая 1). Следующему
колебанию отвечает волна с узлами не
только на концах, но и на середине цепочки
(кривая 2). Третьему колебанию, или, как
говорят, третьей гармонике соответствует
стоячая волна с двумя узлами, делящими
цепочку на три равные части (кривая 3) и
т.д. Очевидно, что самая короткая длина
волны равна удвоенному расстоянию между
атомами цепочки (рис. 4.2, в):
.
При нормальных колебаниях все атомы
цепочки колеблются с одинаковой частотой
(
зависит только от
,
но не от номера
атома). Реальная
траектория колебания
-го
атома, а именно: его амплитуда колебания
в текущий момент времени есть сумма
амплитуд его смещений в каждом из
нормальных колебаний.
Скорость
распространения
возбуждаемой упругой волны
-ой
моды
(4.6)
оказывается
функцией длины волны. В длинноволновом
диапазоне, когда длина волны намного
больше постоянной решетки (
,
),
очень большое число атомов колеблются
синфазно. Поэтому атомная структура
решетки (ее дискретность) не сказывается
на ее свойствах. Кристалл в этом диапазоне
ведет себя как сплошная упругая среда.
И скорость распространения волн совпадает
со скоростью упругих (звуковых) волн в
сплошной среде
. (4.7)
Таким образом,
коллективное движение связанных атомов
в кристалле может быть описано через
независимые нормальные колебания.
Последние обладают следующими характерными
для дискретных структур свойствами: 1)
частотный диапазон их существования
ограничен максимальной частотой
;
для характерных параметров: постоянной
решетки
м
и скорости звука
м/с
с – 1;
2) скорость распространения волн зависит
от частоты. Заметим, что в реальных
трехмерных упругоизотропных кристаллах
возбуждаются две поперечные и одна
продольная упругие (звуковые) волны.