4.10. Системы с кулоновским взаимодействием частиц.
4.10.1. Метод самосогласованного поля. Распределение электронов в МОП-транзисторах. Особый класс веществ составляют частично ионизованные системы из нейтральных и заряженных частиц (атомов, молекул, ионов, электронов). Кроме столкновительных процессов, сил притяжения (отталкивания), здесь существенную роль играет электростатическое (кулоновское) взаимодействие частиц. Речь идет о газовом разряде – нейтральной системе с пространственным распределением электронов и ионов, электролитах, плазме, приконтактных областях металлов (полупроводников), метало-окисных полупроводниковых (МОП) затворах и т.п.
Сложность анализа подобных систем заключается в том, что потенциальная энергия, определяющая распределение заряженных частиц в пространстве, зависит от их положения. Такое затруднение – взаимозависимость между потенциальной энергией – распределением частиц, – возникает тогда, когда пытаются выйти за рамки применимости закона распределения Больцмана, которое справедливо для тел во внешних силовых полях. В указанных системах необходимо учитывать поля, создаваемые самими частицами, т.е. учитывать силы взаимодействия между ними. Метод учета сил взаимодействия с помощью распределения Больцмана носит название метода самосогласованного поля.
Для выяснения сути метода самосогласованного поля обратимся к конкретной задаче. Речь идет о МОП-транзисторах, в частности, об одном кусочно-однородном сочленении, называемом затвором. Его устройство изображено на рис. 4.11. На полупроводник (ПП) – П наносится тонкий слой окисной пленки О, являющейся хорошим изолятором, а на нее напыляется металлический электрод – М.
Потенциал затвора
относительно полупроводника можно
менять с помощью внешнего источника,
причем из-за наличия окисной пленки ток
через систему практически не идет. Если
мы имеем дело с ПП n-типа (концентрация
свободных электронов –
),
то заряд в нем скомпенсирован положительным
зарядом ионов кристаллической решетки
и распределен равномерно. В идеализированной
модели, исключающей приграничные
эффекты, предполагается, что концентрация
электронов на границе О-П такая же, какая
была бы на границе П-М при отсутствии
окисной пленки.
|
Рис. 4.11 |
Если
работа выхода из металла меньше, а
концентрация электронов в нем выше, чем
в ПП, тогда при отсутствии внешнего
напряжения слой ПП, прилежащий к контакту,
обогащается электронами и заряжается
отрицательно, а соответствующий
приконтактный слой металла – положительно.
(Изменение концентрации происходит
путем обмена через внешнюю цепь (!), а не
через слой окисла). Поскольку концентрация
электронов в металле весьма большая,
то частичный уход их мало сказывается
на ее величине. Поэтому в ПП на границе
с окисной пленкой концентрация электронов
в ПП можно считать равной ее значению
в металле –
.
Таким образом, в
ПП имеется слой объемного заряда, и
концентрация электронов в нем плавно
меняется от той, которая устанавливается
на границе (
),
до концентрации, имеющей место в глубине
ПП (
).
За счет заряда этого слоя образуется
разность потенциалов, препятствующая
дальнейшему перераспределению электронов.
Если между затвором и ПП приложено еще
и внешнее напряжение
,
то слой объемного заряда создает такую
разность потенциалов, которая достаточна
для компенсации суммы
– контактной разности потенциалов и
приложенного внешнего напряжения.
Существенна полярность приложенного
напряжения: при плюсе на металле и минусе
на ПП она складывается с разностью
потенциалов, а при обратной полярности
вычитается.
Задача сводится к определению ширины области пространственного заряда и распределения электронов в ней. Поскольку ток через систему отсутствует, то распределение электронов равновесное, т.е. определяется формулой Больцмана
. (4.62)
Приведенная формула не решает задачу, поскольку потенциал остается неизвестной функцией координат. Для его нахождения используем уравнение Пуассона:
,
где
– диэлектрическая проницаемость ПП,
– объемная плотность заряда. Последняя,
в свою очередь, связана с концентрацией
электронов
и положительным зарядом решетки
соотношением
,
так как
– отрицательный заряд электронов в
единице объема, а
– соответствующий положительный заряд
кристаллической решетки. Величина
– постоянная, т.к. заряд решетки
распределен равномерно и не
перераспределяется под действием
внешнего поля. Объединяя указанные
соотношения, имеем
. (4.63)
Таким образом, если потенциал электрического поля зависит от электрических зарядов, распределение которых определяется создаваемым ими полем, то для нахождения потенциала необходимо решить уравнение самосогласованного поля типа (4.63), а затем с помощью найденного потенциала по закону Больцмана найти концентрацию подвижных зарядов (электронов).
В уравнении (4.63) не входит внешнее поле, однако решение существенно от него не зависит. В присутствии внешнего поля решение уравнения (4.63) должно удовлетворять соответствующим граничным условиям. Заметим, что уравнение самосогласованного поля нелинейно (искомая величина входит в аргумент экспоненциальной функции) и поэтому решение его представляет определенные трудности.
Если потенциальная
энергия электрона мала по сравнению с
тепловой энергией (
)
то уравнение (4.63) становится линейным
.
В одномерном простарнстве потенциал зависит лишь от одной координаты , перпендикулярной плоскости контакта, уравнение и его общее решение принимают вид
;
.
Здесь
– квадрат длины (радиуса) Дебая. При
достаточном удалении от затвора (
)
потенциал в глубине ПП считаем равным
нулю (положительные заряды решетки
нейтрализуются электронами
.
Посольку на границе с окисной пленкой
,
то
.
Уменьшение потенциала обусловлено экранированием его подвижными электронами. Возвращаясь к формуле (4.62) получаем искомую плотность распределения зарядов
.
В качестве примера реализации метода самосогласованного поля определим термодинамические параметры плазмы.
4.10.2. Внутренняя энергия плазмы. Плазмой называется высокоионизованный газ, большинство частиц которого имеют электрически противоположные заряды, так что полный заряд равен нулю. С таким состоянием вещества мы встречаемся в звездах, ионосфере Земли, газовом разряде, пламени, газах, нагретs[ до очень высокой температуры и т.д. Плазма во многих отношениях резко отличается от обычного газа, обнаруживая в некоторых явлениях сходство с электролитами и твердыми проводниками (металлами, полупроводниками), и обладает рядом специфических свойств, вследствие чего ее называют четвертым состоянием вещества.
Эти
особенности определяются в основном
дальнодействующим характером электрических
сил (
),
что приводит к длительному взаимодействию
частиц на больших расстояниях. Благодаря
дальнодействию кулоновских сил и большой
подвижности электронов, в плазме огромную
роль играют коллективные процессы, т.е.
колебания и волны различных типов.
По
этой же причине даже при умеренной
ионизации газа взаимодействие между
его заряженными компонентами преобладает
над взаимодействием нейтральных частиц,
поэтому во многих случаях плазму можно
рассматривать как полностью ионизованный
газ. Плазма считается разреженной,
если средняя энергия кулоновского
взаимодействия между двумя частицами
мала по сравнению с энергией
теплового движения частиц
(
– среднее расстояние между частицами).
Для получения полностью ионизованной
плазмы необходимо нагреть газ до такой
температуры
,
чтобы тепловая энергия была равна или
больше энергии ионизации
:
.
Например, для водорода потенциал
ионизации равен 13.595 эВ (1 эВ 
эрг)
и полная ионизация наступает при
температурах
К.
При
таких высоких температурах плазму уже
нельзя рассматривать как совокупность
заряженных частиц, – необходимо учитывать
и содержащееся в ней излучение. Нетрудно
найти температуру, при которой плотность
энергии излучения
становится равной плотности энергии
теплового движения частиц
.
Из равенства
следует
.
Для достаточно разреженной плазмы,
когда плотность частиц
м-3,
К.
При температурах полной ионизации (
К)
плотность энергии излучения в плазме
становится преобладающей, что приводит
к нежелательному следствию – трудности
адиабатической изоляции такой плазмы.
Электростатический
потенциал плазмы. Рассмотрим модель
плазмы в предположении ее полной
ионизации, т.е. состоящей из одинакового
числа положительно и отрицательно
заряженных частиц (
).
При этом свободной энергией излучения
пренебрегаем. Внутренняя энергия плазмы
складывается из кинетической энергии
хаотического движения ее частиц
(внутренняя энергия идеального газа) и
энергии электростатического взаимодействия
, (4.64)
где
– потенциал поля всех остальных зарядов
в точке нахождения
-го
заряда. Энергия одного положительного
(отрицательного) заряда в произвольной
точке (например,
),
равна
(
).
Тогда за суммарную энергию кулоновского
взаимодействия можно принять
. (4.65)
Согласно методу самосогласованного поля, распределение плотности положительных и отрицательных зарядов определяется формулой
, (4.66)
где
,
– потенциал в точке
,
который порождается остальными зарядами.
После подстановки (4.66) в уравнение
Пуассона имеем
. (4.67)
Для достаточно
разреженной изотропной плазмы (
,
)
уравнение упрощается
,
. (4.68)
Общее решение
с учетом его ограниченности во всем
пространстве (
)
принимает вид
. (4.69)
Поскольку вблизи
точки
,
где находится положительный или
отрицательный заряд, потенциал
,
то
.
Потенциал, создаваемый всеми остальными
зарядами в окрестности точки
,
определяется разностью между
и
. (4.70)
Подставляя (4.70) в (4.64) и (4.65), находим энергию кулоновского взаимодействия и внутреннюю энергию плазмы
(4.71)
Отрицательное
значение
обусловлено преимуществом сил притяжения,
поскольку каждый заряд находится в
окружении противоположно заряженной
среды (дебаевская экранировка).
4.10.3. Термодинамические
потенциалы и параметры. При независимых
переменных температуре
и объема
термодинамическим потенциалом плазмы
есть свободная энергия
(3.40)
, (4.72)
где
– свободная энергия идеального газа,
а
– свободная энергия кулоновского
взаимодействия. При температурах
К
необходимо к (4.72) добавить свободную
энергию излучения (4.58)
.
Уравнение состояния
(
),
энтропия (
)
и теплоемкость (
)
плазмы определяются формулами
, (4.73)
, (4.74)
,
. (4.75)
Давление и энтропия плазмы меньше, чем у идеального газа, что обусловлено преобладанием в ней сил притяжения. При повышении температуры плазмы приходится затрачивать энергию не только на увеличение кинетической энергии хаотического движения ее частиц, но и на увеличение средней потенциальной энергии кулоновского взаимодействия между ними. Поэтому теплоемкость плазмы больше теплоемкости идеального газа. Кроме явления экранировки к специфическим свойствам плазмы относится термическое уравнение состояния
,
. (4.76)
Здесь уже нельзя выделить, как в уравнении Ван-дер-Ваальса, разную степень взаимодействия между частицами при изменении их плотности.
С помощью формул (4.73) и (4.75) находим следующие условия устойчивости разреженной плазмы
(4.77)
Отсюда следует, что
,
(4.78)
т.е. при одинаковых условиях плазма менее устойчива, чем идеальный газ.
4.10.4. Собственные продольные колебания. Вторая особенность плазмы также связана с дальнодействующим характером кулоновских сил взаимодействия. Речь идет о том, что флуктуация плотности электронов в плазме не релаксирует, как плотность в обычном газе, а колеблется с определенной частотой, зависящей только от концентрации электронов. Причина колебаний в том, что изменение плотности электронов в каком-либо месте плазмы связано с появлением объемного заряда, поле которого, действуя на смещенные электроны, приводит к появлению восстанавливающей силы, пропорциональной их смещению. Переменный характер силы вызывает вибрацию электронов с определенной частотой.
Выделим мысленно
в плазме с концентрацией электронов
прямоугольный параллелепипед длиной
и сечением
(объем
)
(рис. 4.12). Вследствие большой массы
скорость движения ионов много меньше,
чем у электронов, поэтому их можно
считать неподвижными. Пусть в некоторый
момент времени электроны выделенного
объема сместились по отношению к ионам
на величину
.
Тогда возникающий здесь объемный заряд
и его плотность становятся равными
|
Рис. 4.12 |
. (4.79)
Учитывая связь
локального заряда с напряженностью
электрического поля
уравнением
,
или эквивалентным ему для одномерного
случая
получаем
. (4.80)
Из уравнения
движения электрона (
)
следует
,
или
. (4.81)
Эти формулы и
определяют продольные (
)
электрические колебания в плазме с
циклической частотой
. (4.82)
Так, при концентрации
плазмы
м–3
её собственная частота
с – 1,
что соответствует дециметровым волнам.
Впервые наличие колебаний в плазме было
установлено Дж. Релеем (1906) и независимо
И. Ленгмюром (1929 г.), получившим формулу
для
.
Последняя была названа ленгмюровской
частотой колебаний плазмы.