1.5. Макроскопические величины как фазовые средние

Каждому макроскопическому состоянию системы соответствует свое, но всегда достаточно большое число микросостояний. Рассматривая последние как набор массовых однородных событий, можно ввести для них функцию распределения. Все фазовое пространство образует полный набор случайных микросостояний. Любая физическая величина есть функция микроскопических переменных , которые зависят от времени:

.

Поэтому также непрерывно изменяется со временем. Однако в любом физическом эксперименте измеряются не мгновенные значения физических величин, а (благодаря применению макроскопических приборов) усредненные по времени значения. Чтобы измерить физический параметр прибором, требуется некоторое время , за который система, проходя через соответствующие микросостояния, опишет в фазовом пространстве определенный отрезок траектории. Для нахождения среднего значения параметра , необходимо усреднить его значения по времени:

. (1.45)

	Это означает, что нужно усреднить только по той части фазового пространства, которая содержит точки (различные микроскопические системы), соответствующие траектории системы за время (рис. 1.4). Но взять интеграл (1.45) в общем случае невозможно, так как неизвестны микроскопических параметров , т.е. невозможно
Рис. 1.4.

проследить за всеми временными изменениями микросостояний. Поэтому в статистической физике предлагается физические параметры определять как фазовые средние, т.е. вычислять средние значения по времени не для одной системы, а брать средние значения по фазовому ансамблю систем, отражающих эволюцию состояний исходной, в один и тот же момент времени. Допускается, что наблюдаемые на опыте физические величины могут быть найдены как средние значения, вычисленные по множеству допустимых микросостояний. Таким путем и идет статистическая термодинамика.

Любая физическая (макроскопическая) величина может быть найдена через функцию распределения как среднее значение по всему фазовому ансамблю в виде:

. (1.46)

При этом предполагается, что фазовые средние должны быть равны средним по времени , которые определяются из опыта.

Предположение о тождественности средних по времени и средних по пространству до сих пор не имеет общего доказательства и носит название эргодической гипотезы. Сама задача доказательства тождественности обоих типов средних представляет в современной статистической физике, так называемую эргодическую проблему. Однако в ряде случаев эргодическая гипотеза имеет как опытное, так и теоретическое подтверждение. Так точка в фазовом пространстве, изображающая состояние линейного осциллятора, с течением времени перемещается по эллипсу (Рис. 1.2). За период изобразительная точка опишет полный эллипс, и средние по времени необходимо брать по всей замкнутой фазовой траектории. С другой стороны, ансамбль систем, отражающих состояние осциллятора за период, представлен точками, лежащими на эллипсе. Для получения средних по ансамблю необходимо взять интеграл по тому же самому эллипсу. Ясно, что в этом конкретном случае оба способа вычисления дадут один и тот же результат.

Итак, любой макроскопический параметр согласно эргодической гипотезе можно определить как среднее значение этого параметра по всему фазовому пространству, в котором вероятности различных микросостояний задаются определенной функцией распределения .