1.6.2. Распределения Гиббса.

Чтобы определить явный вид функции распределения, следует вычислить вероятность найти систему в состоянии с энергией между и ( , индекс пробегает ряд значений). Каждому значению энергии в квазиклассическом приближении отвечает некоторая группа состояний. Рассмотрим замкнутую систему, которая не взаимодействует с окружающими телами (термостатом). Здесь под замкнутой условно понимается система, энергия которой за все время наблюдения остается заключенной в заданных весьма узких пределах (абсолютно замкнутых систем в природе не существует!). Поскольку все состояния с данной энергией и числом частиц равноправны и равновероятны, то вероятность того, что замкнутая система находится в одном из них, будет просто пропорциональная числу состояний с данной энергией (кратности его вырождения)

. (1.48)

Формула получила название микроканоническое распределение Гиббса. Здесь имеет место определенная аналогия с классическим представлением формулы (1.42): чем больше выбран элементарный объем фазового пространства , тем больше вероятность застать в нем изобразительную точку. Микроканоническое распределение является принципиальной основой статистической физики.

На практике значительно чаще приходится иметь дело с макроскопическими системами, слабо взаимодействующими с термостатом. Мысленно объединим исследуемую подсистему и термостат в одну общую замкнутую систему. Ее суммарная энергия (термостата и подсистемы) почти постоянная величина

. (1.49)

Здесь – энергия термостата, находящегося в -ом состоянии, – энергия подсистемы в -ом состоянии. Знак («почти») означает, что формула не учитывает взаимодействия сложной системы с остальными окружением и взаимодействие между термостатом и подсистемой. Подсистема может находится в любом состоянии с энергией , а термостат – в любом состоянии с энергией . Изменение состояния подсистемы не влияет на состояние термостата и наоборот, если указанные переходы не выводят систему из группы состояний с энергией , а термостат, соответственно, из состояний с энергией .

Вероятность реализации состояния сложной замкнутой системы (термостат и подсистема) с фиксированной энергией (1.49) определяется микроканоническим распределением . С другой стороны, число состояний сложной системы из двух независимых частей равно

. (1.50)

Вероятность нахождения системы в состоянии с энергией (а термостат в состоянии с энергией ) пропорциональна

. (1.51)

При больших размерах термостата его энергия значительно превышает энергию подсистемы , . Поэтому любые изменения энергии подсистемы практически не влияют на энергию термостата; все состояния термостата (при изменении состояний подсистемы) можно считать принадлежащими к одной и той же энергии.

С учетом указанных замечаний можно разложить функцию в ряд по степеням малой величины и ограничится линейными слагаемыми. Однако, разлагать в ряд непосредственно саму функцию нельзя, потому что число состояний – мультипликативная, а энергия – аддитивная функции. Представления в виде ряда

(1.52)

не обладает требуемыми свойствами. Так, для двух систем с числом состояний и и энергиями и общая энергия должна быть суммой , а общее число состояний должно равняться . Но при перемножении левых частей разложения (1.52) правые части не складываются. Поэтому представим число состояний в виде

, (1.53)

где – новая функция аргумента . Как будет показано в дальнейшем, она имеет смысл статистической энтропии. Представление (1.53) оправдано, поскольку по своей природе число состояний – существенно положительная величина, значение которой заведомо не меньше единицы. Кроме того, поскольку , то , подобно энергии, является аддитивной функцией.

Разлагая в ряд, ограничиваясь линейным членом, имеем

(1.54)

где величина

(1.55)

получила название модуля распределения (статистической температуры). В следующем разделе будет показано, что статистическая температура связана с абсолютной температурой простым соотношением , где – постоянная Больцмана. Нетрудно видеть, что (1.54) удовлетворяет требованиям мультипликативности при сложении энергий независимых частей: . Подставляя (1.54) в (1.51) дает

. (1.56)

Здесь через обозначены параметры, не зависящие от значения и свойств подсистемы. Формула определяет вероятность того, что слабо взаимодействующая часть некоторого собрания произвольных физических систем будет находиться в одном из состояний с энергией между и , а термостат – в одном из состояний с энергией между и . Но так как состояние термостата не представляет интереса, для краткости говорят, что – вероятность нахождения подсистемы в одном из состояний с энергией . Из определения вероятности следует условие нормировки

, (1.57а)

где суммирование ведется по всем возможным квантовым состояниям системы. Отсюда вытекает, что введенный формально коэффициент является существенно положительной величиной:

. (1.57б)

Только в этом случае вероятность состояний сколь угодно больших энергий стремится к нулю. Постоянная в (1.56) находится из условия нормировки

,

и распределение вероятностей принимает вид

. (1.58)

Оно впервые предложено Дж. Гиббсом (1901 г) для классических систем и получило название распределение Гиббса или канонического распределения. Сумма, стоящая в знаменателе, играет большую роль в статистической физике, для нее введено специальное обозначение

, (1.59)

и принято называть функцией (интегралом) состояния (статистической суммой). Распределение Гиббса позволяет вычислить среднее значение любой физической величины , зависящей от состояния системы:

. (1.60)