6.2. Теория стационарных процессов в газе свободных электронов

6.2.1. Дрейфовая скорость электрона. Время релаксации. В отсутствие электрического поля электронный газ в металлах находится в равновесном состоянии и описывается равновесными функциями распределения. При приложении к проводнику электрического поля в нем возникает поток зарядов (электрический ток). Плотность тока определяется законом Ома , где коэффициент пропорциональности (кинетический коэффициент) определяют как удельную проводимость проводника. Направленное движении электронов под действием поля называют дрейфом электронов, а среднюю скорость этого движения – скоростью дрейфа.

Сила, действующая на электрон со стороны поля равна . При движении электрон сталкивается с дефектами решетки, примесями и, рассеиваясь, теряет скорость. Действие дефектов можно формально свести к действию силы сопротивления , которая пропорциональна скорости движения электрона и направлена противоположно ей; здесь – эффективная масса электрона. Уравнение движения электрона в решетке принимает вид.

. (6.6)

В стационарном режиме ( ) силы сопротивления и сила Кулона сравняются, скорость дрейфа электрона становится равной

(6.7)

и имеет направление, противоположное вектору напряженности .

Если в какой-то момент выключить поле , то из (6.6) приходим к уравнению релаксации , которое описывает переход электронного газа в равновесное состояние, а – время релаксации. Для чистых металлов с. По аналогии с кинетической теорией газов можно считать, что электрон движется прямолинейно до тех пор пока не встретится с дефектом решетки и не рассеется. Средний отрезок пути , который проходит электрон между двумя последовательными актами рассеяния, примем за длину свободного пробега электрона. Для полного уничтожения скорости в данном направлении требуется не одно, а в среднем столкновений с рассеивающими центрами. Только в этом случае исчезает всякая корреляция между начальной и конечной скоростями движения электрона. Время релаксации будет равно , где – среднее время свободного движения электрона между двумя последовательными столкновениями, а – средняя скорость движения электронов:

, (6.8)

где – транспортная длина свободного пробега.

6.2.2. Электропроводность невырожденного и вырожденного электронных газов. Знание дрейфовой скорости (6.7) позволяет вычислить плотность электрического тока и удельную электропроводность. Если плотность электронов в газе – , а их скорость движения , то через единицу площади в единицу времени пройдет поток зарядов (плотность тока)

где

. (6.9а)

В случае невырожденного газа плотность заполнения зоны проводимости электронами настолько мала, что попадание в одно состояние двух электронов практически исключается (нет ограничения принципом Паули). Электроны полностью свободны в том смысле, что на движение любого из них другие не оказывают заметного влияния. Все электроны проводимости принимают независимое друг от друга участие в создании электрического тока и формировании электропроводности проводника. Поэтому в формуле (6.9а) должны фигурировать средние значения длины свободного пробега , числа столкновений , скорости движения и времени релаксации всех свободных электронов, полученные усреднением их по всему коллективу

. (6.9б)

Для вырожденного газа все квантовые состояния с меньшей энергией (скоростью), чем энергия или скорость Ферми, заняты электронами. Поэтому внешнее поле может воздействовать лишь на электроны, имеющие энергию в интервале вблизи уровня Ферми, переводя их на более высокие свободные уровни энергии. Иными словами, в формировании электропроводности учувствуют не все свободные электроны, а только те из них, которые обладают энергией вблизи уровня Ферми. Поэтому в качестве параметров формулы (6.9а) следует брать время релаксации , длину свободного пробега , скорость и число столкновений электронов, имеющих энергию, практически равную энергии Ферми.

. (6.9с)

Наглядную иллюстрацию различия в создания электрического тока вырожденным и невырожденным газом электронов дает следующая механическая аналогия. Пусть на поверхности воды, налитой в плоский горизонтальный сосуд, плавают заряженные частицы-шарики. Внешнее поле вызывает их направленное движение. Характер действия поля на «коллектив» шариков как целое, существенно зависит от их плотности распределения по поверхности воды. Если плотность мала (расстояние между шариками велико), каждая частица движется практически свободно, не ограничивая движения своих соседей (рис. 6.2.а). Движение «коллектива» под действием внешнего электрического поля будет определяться средними параметрами движения отдельных «частиц» ( , , ). При плотной упаковки шариков, так что на поверхности воды, занятой ими, не остается свободных мест, направленное движение «коллектива» определяется движением нижнего слоя «частиц» , отделяющего «занятые» состояния от «свободных» (рис. 6.2б), а именно: скоростью , временем релаксации , длиной свободного пробега и т.д. Для вырожденного электронного газа роль такого слоя выполняют электроны, располагающиеся у уровня Ферми, которые отделяют занятые состояния от свободных.

а) б)

Рис. 6.2.

6.2.3. Зависимость электропроводности проводника от температуры. Одним из основных вопросов теории электропроводности твердых тел – зависимость скорости дрейфа носителей заряда от температуры. Его решение проведем отдельно для высоких и низких температур. Важным фактором, препятствующим переносу заряда в проводнике, является рассеяние электрона на тепловых колебаниях решетки (на фононах). Каждый атом решетки колеблется около положения равновесия, оставаясь в пределах сферы с радиусом, равным амплитуде колебаний . Площадь сечения этой сферы примем за сечение рассеяния колеблющегося атома. Вероятность попадания в него электрона, очевидно, пропорциональна его площади, а длина свободного пробега – обратно пропорциональна ей . Энергия колеблющегося атома пропорциональна квадрату амплитуды колебаний . С другой стороны, при высоких температурах средняя энергия атома, совершающего тепловые колебания, пропорциональна : . Поэтому . Фононы при высоких температурах обладают столь высокими средними импульсами, что уже в единичных актах столкновения с ними (т.е. при ) электроны практически полностью теряют скорость в первоначальном направлении. Учитывая эти замечания и , получим следующие зависимости от температуры для электропроводности невырожденного газа

; (6.10)

и вырожденного газа

. (6.11)

В области низких температур основное значение имеет рассеяние на ионизированных примесных атомах, которое отклоняют электроны, проходящие вблизи них, и тем самым уменьшают скорость их движения в первоначальном направлении. Задача о рассеянии заряженных частиц заряженными центрами была впервые решена Э. Резерфордом. В применении к нашему случаю полученная им формула для имеет вид

,

где – скорость электрона, – диэлектрическая проницаемость кристалла, – заряд рассеивающего иона. Длина свободного пробега электронов при рассеянии их на примесях обратно пропорциональна концентрации последних и от температуры не зависит. Учитывая это и значение получим:

для невырожденного газа

, (6.12)

для вырожденного газа

. (6.13)

Для очень чистых металлов, содержащих ничтожное количество примесей, основным механизмом рассеяния носителей заряда может оказаться рассеяние на фононах. В этом случае длина свободного пробега электронов обратно пропорциональна концентрации фононов . При низких температурах ( ) , поэтому . Импульс фононов в этом случае намного меньше импульса электрона ( ), и . Так как с ростом увеличивается , то должно зависеть от температуры.

На рис. 6.3 показано изменение импульса электрона после упругого столкновения с фононом в точке А. До столкновения электрон имел импульс , после столкновения – . Так как столкновение упругое, то абсолютная величина не меняется: ( ); меняется лишь направление импульса так, что . Вследствие изменения направления величина импульса в первоначальном направлении уменьшается на ( ). Из и ( – высота, биссектриса и медиана) находим , , где – угол рассеяния электрона. Поэтому при однократном столкновении импульс электрона в первоначальном направлении изменяется на величину . Для полного уничтожения импульса потребуется следующее число столкновений

.

Средняя энергия фонона . Поскольку , где – скорость звука в кристалле, то , и электропроводность электронного газа в области низких температур для чистых металлов пропорциональна

. (6.13)

На рис. 6.4 приведен качественный график зависимости для чистых металлов. В области температур, близких к абсолютному нулю, тепловые колебания решетки ослабляются настолько, что основное значение приобретает рассеяние на примесных атомах, которые всегда содержатся в металле, как бы чист он не был.

Рис. 6.3.	Рис. 6.4.

6.2.4. Теплопроводность электронного газа. Закон Видемана-Франца. Свободные электроны в металла обуславливают не только перенос заряда под действием электрического поля, но и перенос тепла при наличии пространственного градиента температуры: . Приведем оценку коэффициента теплопроводности для невырожденного электронного газа.

Пусть две параллельные пластины имеют разную температуры и (рис. 6.5). Благодаря градиенту температуры в газе, возникает поток энергии от нагретой к холодной пластине. Вычислим этот поток через единичную площадь плоскости . Оценим среднюю энергию электронов , которые находятся на расстоянии транспортной длины свободного пробега от выбранной плоскости, т.е. имеющие координаты и . Учитывая малые значения , имеем

В результате столкновительных процессов происходит передача энергии от «горячего» «холодному» электрону

Рис. 6.5.

. Общее число электронов, пересекающих плоскость в единицу времени в направлении к холодной пластине считаем равным , где – число электронов в единице объема газа. Переносимая при этом энергия (поток тепла, ) определяется выражением

,

где – удельная (единицы объема) теплоемкость невырожденного электронного газа. Коэффициент теплопроводности оказывается равным

. (6.16)

Для вырожденного газа электронов ( )

. (6.17)

Вопрос о характере температурной зависимости теплопроводности решается таким же образом, как и для электропроводности.

Поскольку перенос заряда и тепла (кинетической энергии) в электронном газе осуществляется одними и теми же носителями, то должна быть связь между этими явлениями переноса. Ее впервые установили экспериментально Г. Видеман и П. Франц и теоретически обоснована Л. Лоренцем для металлов. Ими было показано, что отношение теплопроводности и электропроводности пропорционально абсолютной температуре :

. (6.18)

Это выражение составляет содержание закона Видемана-Франца; коэффициент – называют числом Лоренца. Его легко установить в рассмотренной модели газа. Воспользуемся формулами (6.16) и (6.17) для теплопроводности металла (которая фактически равна его электронной составляющей). Поделив ее на электропроводность , заданную формулами (6.9б) и (6.9с), соответственно, для невырожденного газа

,

а вырожденного газа

.

Теоретическая модель подтверждает закон Видемана-Франца и позволяет определить число Лоренца (для вырожденного газа оно равно Вт·Ом·К^–2), которое находится в хорошем согласии с экспериментальными данными для чистых металлов.