- •1. Основные положения статистической термодинамики
- •1.1. Понятия и начала феноменологической термодинамики.
- •1.2. Микроскопическое (механическое) описание классических систем.
- •1.3. Особенности представления квантовых систем
- •1.4. Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства. Метод ансамблей Гиббса.
- •1.5. Макроскопические величины как фазовые средние
- •1.6. Распределение в системах с постоянным числом частиц
- •1.6.2. Распределения Гиббса.
- •1.6.3. Квазиклассическое приближение.
- •1.7. Свойства распределения Гиббса
- •1.8. Большое каноническое распределение Гиббса
- •2. Статистика идеального газа
- •2.1. Идеальный газ как модель статистической системы
- •2.2. Распределение Максвелла
- •2.3. Столкновения молекул со стенкой сосуда. Давление
- •2.4. Характерные величины идеального газа
- •2.5. Столкновение молекул между собой
- •2.6. Длина свободного пробега
- •2.7. Идеальный газ во внешнем поле
- •2.8. Число и функция состояний идеального газа
- •2.9. Классическая теория теплоемкости газа двухатомных молекул
- •2.10. Квантовая теория теплоемкости газа двухатомных молекул
- •2.11. Распределения в квантовых системах
- •3. Законы термодинамики
- •3.1. Статистическое обоснование первого начала термодинамики
- •3.2. Второе начало термодинамики
- •3.3. Вечный двигатель второго рода. Максимальная работа процессов
- •3.4. Полезная работа тепловых машин
- •3.5. Метод термодинамических потенциалов
- •3.6. Термодинамические коэффициенты. Критерии устойчивости равновесия
- •3.7. Статистическое вычисление термодинамических величин
- •3.8. Третье начало термодинамики (теорема Нернста)
- •3.9. Применения термодинамики
- •4. Статистика сложных систем.
- •4.1. Модель кристаллического твердого тела. Уравнение движения атомов
- •4.2. Дисперсионное уравнение нормальных колебаний кристалла
- •4.3. Кристалл как система линейных гармонических осцилляторов
- •4.4. Статистическая сумма и энергия кристалла (в гармоническом приближении)
- •4.5. Теория теплоемкости Дебая
- •4.6. Электронный газ в металлах
- •4.7. Зависимость энергии электрона от волнового вектора. Эффективная масса
- •4.8. Теория парамагнетизма. Природа и характеристики магнетизма.
- •4.9. Равновесное излучение.
- •4.10. Системы с кулоновским взаимодействием частиц.
- •5. Теория малых флуктуаций
- •5.1. Определение и значение флуктуаций
- •5.2. Мера вероятности и масштаб флуктуаций
- •5.3. Флуктуации термодинамических величин в однородной среде
- •5.4. Предельная чувствительность измерительных приборов
- •5.5. Рассеяния света флуктуациями
- •6. Элементы теории физической кинетики
- •6.1. Определения и характеристики необратимых процессов
- •6.2. Теория стационарных процессов в газе свободных электронов
- •6.3. Газокинетическое уравнение Больцмана
- •6.4. Приближение времени релаксации
- •Раздел 2
- •Раздел 2
- •Раздел 3
- •Раздел 4
- •Раздел 5
- •Раздел 6
- •Список Литературы
4.8. Теория парамагнетизма. Природа и характеристики магнетизма.
4.8.1. Вектор магнитной поляризации. Классификация магнетиков. Магнитные свойства присущи в той или иной степени всем без исключения телам. Поэтому при рассмотрении их магнитных свойств введем общий термин – магнетики. Различают магнетизм микрочастиц, веществ, т.е. коллективов взаимодействующих атомов и молекул (твердые тела, жидкости, газы), космических тел и космического пространства.
Микрочастицы (электроны, протоны, нейтроны, мезоны и др.) обладают собственным (спиновым) магнитным моментом, связанным с их собственным механическим моментом – спином. Атомный магнетизм, кроме того, обусловлен также движением электронов в оболочках атомов и молекул (так называемый орбитальный магнетизм) и внутриядерным движением протонов и нейтронов (орбитальный ядерный магнетизм).
Спиновый магнитный момент электрона имеет две проекции на направление внешнего магнитного поля
,
здесь – магнетон Бора. Орбитальный момент связан с орбитальным механическим моментом ( ) универсальным соотношением
.
Пространственное квантование орбитальных моментов допускает лишь дискретный ряд возможных проекций моментов на направление магнитного поля
, (4.41)
где – магнитные квантовые числа. Орбитальный магнитный момент многоэлектронного атома есть векторная сумма орбитальных магнитных моментов всех его электронов ( – порядковый номер атома в таблице Менделеева)
. (4.42)
Для характеристики намагничивания тела (системы из атомов) вводят вектор магнитной поляризации как векторную сумму собственных магнитных моментов атомов, находящихся в единице объема
. (4.43)
Для не слишком сильных магнитных полей вектор поляризации пропорционален напряженности магнитного поля
, (4.44)
где –получила название магнитной восприимчивости. Если не учитывать природу элементарных носителей магнетизма и характер их взаимодействия, можно выделить два класса магнетиков по их поведению во внешних магнитных полях по знаку магнитной восприимчивости: диамагнетики (с ) и парамагнетики (с ). Необходимым признаком парамагнетизма является наличие у атомов собственных постоянных магнитных моментов, существующих независимо от внешнего магнитного поля. Тепловое движение препятствует их самопроизвольной и вынужденной (под действием внешних полей) параллельной ориентации. В отсутствие внешнего поля результирующий вектор магнитной поляризации вследствие хаотической ориентации магнитных моментов равен нулю. Включение внешнего магнитного поля приводит к их преимущественной ориентации вдоль его направления. Столкновения (взаимодействие) атомов, участвующих в тепловом движении, играют роль дезориентирующего фактора, который тем сильнее, чем выше температура. Последнее обстоятельство приводит к зависимости магнитной восприимчивости от температуры.
4.8.2. Классическая теория парамагнетизма Ланжевена основана на представлении, что атомы парамагнитных тел обладают постоянным магнитным моментом , т.е. рассматриваются как постоянные магнитные диполи, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало. В магнитном поле такой диполь обладает магнитной энергией , где – угол между и . Минимальное значение имеет при . Поэтому все диполи стремятся ориентироваться в направлении поля, чему мешает тепловое движение атомов. Результирующий магнитный момент вещества (вектор поляризации ) складывается из проекции магнитных диполей на направление поля. Из-за дезориентирующего фактора величина этих проекций есть случайная величина, и количественные расчеты должны включать среднее значение проекции . Если предположить возможность произвольной ориентации магнитного диполя, то, воспользовавшись законом распределения Больцмана (2.25), вычислим
,
. (4.45)
где – элемент телесного угла, а – функция Ланжевена. Так как под действием поля атомные диполи имеют преимущественную ориентацию, то вещество намагничивается вдоль поля, что характерно для парамагнетиков.
При реальных малых представление дает
; . (4.46)
Только при больших полях и очень низких температурах прямая пропорциональность между и нарушается. В пределе ( ) вектор поляризации достигает максимального значения , когда магнитные моменты всех атомов ориентированы вдоль поля.
4.8.3. Понятие о квантовой теории парамагнетизма. Расчеты магнитных параметров веществ при низких температурах, проведенные по классической теории, не совпадают с опытными данными, в частности, закон Кюри противоречит теореме Нернста. Это обусловлено чуждыми для вырожденных систем предположениями: 1) о стационарности орбитальных орбит электрона; 2) о возможности любых ориентаций магнитных моментов атомов относительно вектора напряженности внешнего магнитного поля . Магнитный момент атома может иметь проекций (4.41). Вероятность реализации каждого из них определяется формулой Больцмана ; откуда следует их среднее значение
. (4.47)
От алгоритма вычисления среднего значения момента в классической теории (4.45) эта формула отличается заменой интегрирования суммированием по дискретным направлениям, которые может занимать вектор .
4.8.4. Парамагнетизм электронного газа. У ряда металлов существует парамагнетизм, который не зависит от температуры. Как показал В. Паули, он обусловлен парамагнетизмом свободных электронов. Для наглядности рассмотрим частично заполненную электронами зону проводимости в виде двух полузон, содержащих электроны с разной ориентацией спина, а следовательно, и собственного магнитного момента: (рис. 4.8). При число электронов в этих
Рис. 4.8
полузонах одинаково, и результирующий магнитный момент газа равен нулю. Когда вещество помещается в магнитное поле, каждый электрон левой полузоны (магнитные моменты ориентированы в направлении поля ) приобретает дополнительную энергию , а правой – . Это приводит к возникновению разности уровней Ферми (рис. 4.8, б), которая выравнивается за счет «перевертывания» спинов у части электронов правой полузоны и перехода их в левую полузону (рис. 4.8,в). Число электронов с становится больше (левая полузона), чем электронов с антипараллельной ориентацией. В этих процессах участвуют только те электроны, которые находятся вблизи в области размытия функции Ферми-Дирака, т.е. . После выравнивания уровней энергии в полузонах число электронов с параллельными и антипараллельными магнитными моментами будет, соответственно, равно
, .
Разность приводит к нескомпенсированному магнитному моменту
,
где . Поскольку общее число электронов , то . Подставляя в предыдущую формулу, получаем магнитный вектор поляризации электронного газа
. (4.48)
При
, . (4.49)
Парамагнитная восприимчивость электронного газа не зависит от температуры, что находится в полном согласии с экспериментальными данными.