1.6. Распределение в системах с постоянным числом частиц

1.6.1. Квазинезависимые системы. Основная задача статистики. Представим некоторую макроскопическую систему как совокупность большого числа таких частей (подсистем), взаимодействие между которыми весьма слабое, и им можно в первом приближении пренебречь. Однако реально существующее между частями взаимодействие приводит к тому, что движение одной из частей влияет на движение другой, и полной независимости между ними не существует. Очевидно, что подсистемы, образующие большую систему, можно считать квазинезависимыми, если энергия их взаимодействия в среднем мала по сравнению с энергией каждой из подсистем. Поскольку речь идет о средних значениях, то к слабому взаимодействию может быть отнесено весьма кратковременное сильное взаимодействие, если за весьма большой остальной промежуток времени движения подсистемы совсем не взаимодействуют друг с другом. Примером могут служить молекулы разреженного газа, которые лишь изредка сталкиваются между собой, а большую часть времени движутся как свободные. В других случаях между квазинезависимыми подсистемами происходит непрерывное, но слабое взаимодействие.

Пусть подсистема состоит из большого числа частиц и является, таким образом, макроскопической. Её полная энергия , слагающаяся из энергии движения отдельных частиц, будет пропорциональна их числу , которое, в свою очередь, пропорционально объему подсистемы: , где – ее характерный линейный размер. Взаимодействие между подсистемами обусловлено главным образом силами между молекулами в приграничной области. Они так быстро убывают с расстоянием, что энергией взаимодействия молекул, находящихся в глубине подсистем, можно пренебречь. В этом приближении энергия взаимодействия между подсистемами пропорциональна числу молекул, находящихся в узком приграничном слое, т.е. величине самой поверхности . Поэтому отношение

мало для систем с достаточно большим числом частиц. Это позволяет считать макроскопические тела слабо взаимодействующими, а их энергию – постоянной. Энергия всего коллектива подсистем равна сумме энергий его составных частей, т.е.

. (1.47)

Знак подчеркивает то факт, что формула не учитывает энергию взаимодействия.

Введенное таким образом понятие «подсистемы» является весьма общим, ею может быть любая квазинезависимая система. К ней, например, относятся одноатомная или многоатомная молекула в разреженном газе, а также весь газ в целом, заключенный в некоторый сосуд. Стенки сосуда и окружающие тела играют роль других подсистем. А все вместе образует собрание систем. Подсистемой может быть макроскопическое твердое тело, фотонный или фононный газ. Окружающие их тела суть остальные части собрания.

Благодаря слабому взаимодействию в коллективе, установится некоторое распределение вероятностей попадания подсистемы в определенное энергетическое состояние . Независимо от характера роль взаимодействия состоит в том, что оно вызывает переходы из одних состояний в другие. Отмеченная ранее (п. 1.4) зависимость функции позволяет сделать допущение: распределение вероятностей состояний произвольной квазизамкнутой подсистемы зависит только от ее энергии. Справедливость такой формулировки подтверждается последующим сравнением теории с опытом.

Основная задача статистики, как отмечал Шредингер, – вопрос о распределении заданного количества энергии между тождественными подсистемами. При ее решении выделяют два случая: 1) система легко обменивается физическими качествами с окружающей средой (термостатом); 2) система изолированная. Первый частный случай приводит к каноническому распределению по энергиям, тогда как второй отвечает микроканоническому распределению. Поскольку в природе нет абсолютно изолированных систем, а также не существует идеального полного обмена между телами, то эти распределения переходят друг в друга. Все сводится к тому, в течении какого промежутка времени анализируется система и каковы ее относительные размеры среди других систем.