5.3. Анализ простейшей колебательной системы

В общем виде для одномассовой колебательной системы существуют шесть степеней свободы, n=6, из которых три степени имеют продольные направления вдоль осей Х, Y и Z, а другие три имеют крутильные направления относительно соответствующих осей.

Рассмотрим простейшую одномассовую колебательную систему с одной степенью свободы, девующей по оси X, с пружиной растяжения жесткозакрепленной на одном конце (рис.5.3.).

Рис.5.3. Колебательная система

1. Упругий элемент - пружина растяжения с коэффициентом жесткости К, н/м. 2. Масса колебательной системы - m, кг. 3. Сопротивление колебательной системы с коэффициентом сопротивления-m , H*с/м. х, v - смещение и скорость колебательного процесса, мм,мм/с. 4. Сила внешнего воздействия - F_В, H.

Определим силы, действующие в колебательной системе. - Сила инерции из 2-го закона Ньютона: F_U = ma, Н, где а - ускорение массы, м/с². - Сила упругости пружины: F_УП = Х*К, H. - Сила сопротивления колебательной системы F_С = u*m, Н.

Коэффициент сопротивления системы определяется:

где h - коэффициент трения колебательной системы, %, включает в себя внешнее трение (вязкость масла в подшипниках, трение в электромагнитном поле) и внутреннее трение (трение в металлах, из которых изготовлены детали машины). - Сила внешнего воздействия: F_В = F_m*sin(wt+j₀), Н. где F_m - амплитуда внешней силы, H; w- угловая частота колебательного процесса, Гц, t - время, с; j₀ - начальная фаза колебательного процесса, град.

Произведем сложение всех сил, результат представим в дифференциальной форме. Начальную

фазу j₀ не учитываем.

Это уравнение простейшей колебательной системы Решение этого уравнения после подстановки в него величины смещения х в комплексной форме:

х=А_М*e^jwt дает выражение для определения амплитуды виброскорости колебательного процесса:

( 5.3)

Знаменатель представляет собой полное сопротивление системы - импеданс:

, H*c/м; ( 5.4)

где :m - активное сопротивление;

mw-k/w - реактивное сопротивление;

mw - инерционная составляющая реактивного сопротивления;

k/w - упругая составляющая реактивного сопротивления.

Определим амплитуду виброскорости в различных областях работы машины:

- Резонансная область работы машины. w =w ₀ . Известно, в резонансе реактивное сопротивление равно 0, т.е. инерционная и упругая составляющие равны между собой, mw ₀-k/w ₀ = 0,

отсюда , Гц,

где w ₀ - резонансная угловая частота вращения машины.

При этом условии Z=m . Из формулы ( 5.3) следует:

V_m = F_m / m , подставляя , получаем:

,Н/с (5.5)

- Зарезонансная область работы машины, т.е. w >w ₀ . Тогда mw > k/w .

В случае незначительной величины m полное сопротивление принимается равным инерционному:

Z = mw , тогда, подставляя Z в ( 5.3) получим:

V_m = F / mw ,м/с. ( 5.6)

- Дорезонансная область работы машины, т.е. w <w ₀ . Тогда mw < k/w .

При m близкой к нулю Z = k /w , а выражение (5.4) принимает вид:

U_m = F_m*w/k , м/с. ( 5.7)

Из формул: (5.5), (5.6), (5.7) следуют выводы:

- Во всех областях работы вращающихся машин для снижения вибрации, т.е. для уменьшения величины U_m , следует прежде всего уменьшать величину внешней силы - F_m .

- В резонансной области снижение вибрации достигается увеличением активного сопротивления: либо за счет увеличения жесткости колебательной системы - k , либо за счет увеличения коэффициента трения - h внешнего, например в подшипниках, или внутреннего в металлах, из которых изготавливается машина ( формула 5.5. ).

- В зарезонансной области снижение вибрации достигается увеличением массы колебательной системы - m , как правило, увеличением массы фундамента ( формула 5.6. ).

- В дорезонансной области снижение вибрации достигается увеличением жесткости колебательной системы - k ( формула 5.7.).

Увеличение частоты вращения машины w в дорезонансной и резонансной областях работы приводит к увеличению вибрации (формулы 5.5. и 5.7.). Увеличение частоты вращения машины в зарезонансной области работы приводит к уменьшению вибрации (формула 5.7.).

Сделанные выводы по снижению вибрации в различных областях работы машины можно представить графически на рис.5.4.

Рис.5.4. Резонансные характеристики колебательной системы:

Здесь:m₁>m₂>m₃>m₄=0,

X_ст=F_m/K - статический прогиб ротора машины при w=0.

Из рис.5.4 следует, что наибольший эффект снижения вибрации достигается в резонансной области увеличением активного сопротивления - m. В до и зарезонансных областях - увеличением параметров К и m - соответственно.