§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r

Если вместо переменной х в многочлен f (x) х подставить число  , то получим число, которое называется значением многочлена при х =  и обозначается

f ( ) = _к  ^к + _к-1  ^к-1 + . . . +₁ + ₀.

Определение 1. Число  из поля Р называется нулем (или корнем) многочлена f (x)  х, если f () = 0.

Теорема Безу. Для того чтобы  было корнем многочлена f(x) х, необходимо и достаточно, чтобы многочлен f(x) делился на многочлен x – . В дальнейшем многочлен x –  будем обозначать р_х).

Доказательство. Необходимость:  – корень и f () = 0. Разделим f(x) на р_х) по убывающим степеням. Поскольку р_х) имеет степень 1, то остаток имеет степень, равную нулю, а значит, является постоянной , которая может равняться нулю, и мы имеем f(x) = р_х) f₁(x) + . Возьмем f () . Так как р_) = 0, то f () = . Следовательно, если  есть корень многочлена f(x), то f () = 0; стало быть,   , и f(х) делится на р_х).

Достаточность. Если f(x) делится на р_х), то остаток   , а тогда

f () = р_) f₁(x) = 0, так как р_) = 0.

Кратность нуля. Пусть  есть нуль многочлена f (x) х; тогда, если р_х) = х – , то f (x) = р_х) f₁(x). Может оказаться, что f₁(x) в свою очередь имеет  в качестве нуля, и тогда f₁(x) = р_х) f₂(x); а f (x) = х) f₂(x).

Определение 2. Кратностью нуля (корня)  называется наибольший целый показатель h, для которого f (x) =х) f_h(x), причем f_h (x) уже не имеет  в качестве нуля, т.е. f_h ()  0.

Если h = 1, то  называют простым нулем, если h = n, то  называют нулем кратности n, или n-ым (двойным, тройным и т.д.) нулем.

Пусть ₁, ₂, . . . , _n – различные нули многочлена f(x), и пусть h₁, h₂, . . . , h_n – их кратности. Значит, Многочленимеет степень 1 и поэтому неприводим для любого поляР, а, следовательно, взаимно прост с , если₂  ₁. Стало быть, итоже взаимно просты. Но(х) делит произведение , и, следовательно, по теореме Евклида,делитb(х), и мы имеем

b(х) = Значит,Продолжая это рассуждение последовательно для всех многочленов, получаем окончательно формулу для разложения многочлена в произведение неприводимых многочленов.

и эта форма записи делает очевидным тот факт, что _i является нулем многочлена f(х) и что его кратность равна h_i.

Пусть к есть степень многочлена f(х); последнее выражение для f(х) показывает, что к = Сm f (x) = h₁ + h₂ + . . . +h_n + Cm  (x), откуда

h₁ + h₂ + . . . + h_n  к = Cm f(x).

Из этого, в частности, следует, что многочлен степени к не может иметь более чем к различных корней – теорема Лагранжа. Если их имеется ровно к, то все они простые.

Рассмотрим ситуацию, когда поле Р есть поле С комплексных чисел и f (x)Сх. В этом случае справедлива теорема, которая носит название теорема Даламбера (или основная теорема алгебры). Всякий многочлен f(x) из Сх степени больше или равный единице, имеет в поле С комплексных чисел, по крайней мере, один корень.

Следствия. 1. Всякий многочлен f(x) из Сх степени к имеет все свои корни в поле С комплексных чисел и их количество в точности равно к, если считать каждый корень, столько раз, какова его кратность.

2. Таким образом, если f (x)Сх и Cm f(x) = k, то h₁ + h₂ + . . . + h_n = к, а Cm ψ(x) = 0; следовательно, ψ(x) является отличной от нуля постоянной и разложение f(x) имеет вид

(3.6)

где _n – старший коэффициент f(x), h₁, . . ., h_n N, _ . . .,_n С. Эта формула называется каноническим разложением f(x) над полем С комплексных чисел.

3. Пусть f(x) – многочлен с вещественными коэффициентами из поля R, тогда если среди нулей _, . . .,_n есть нуль _iС кратности , то обязательно среди корней будет и комплексно сопряженный кореньтакой же кратности. Действительно неприводимыми многочленами над полем R степени больше единицы являются многочлены _ х² + _ х + _, у которых дискриминант отрицательный; такие многочлены в поле комплексных чисел имеют корнями два сопряженных комплексных числа  и . (книга 2, гл.2, §2).

Теперь, объединив в пары множители, где λ_j =, h_i = h_j = μ_i в каноническом разложении многочлена f (x) над полем С получим:

(3.7)

λ₁, λ₂, . . . , λ_t – вещественные нули f(x), _1jR, λ_0j R, j = 1,2, . . . , m, f (x) R[x], Сm f (x) = 2( μ₁ + μ₂ + . . . + μ_m ) + е₁ + . . . + е_t , многочлены ( х² + α_1j х + α_0j ) соответствуют парам нулей λ_i и λ_j = .

Полученное разложение называется каноническим разложением многочлена f (x) над полем R вещественных чисел.