§5. Построение обратной матрицы

Мы уже видели, что для того, чтобы матрица А была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была квадратной и ее ранг r(A) должен быть равен порядку n матрицы А. Теперь, используя определитель матрицы, мы можем это утверждение сформулировать следующим образом. Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу А^-1, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель D(A)  . Элементы обратной матрицы А^-1 определяются по формуле:

Здесь, D(A) – определитель матрицы А = (а_ij), где i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,n. А_ij – алгебраические дополнения элемента а_ij матрицы А. Заметим, что А_ij стоят не на месте элемента а_ij, а на месте элемента а_ji. Следовательно, матрица А^-1 является транспонированной к матрице , элементы которойА_ij стоят на месте элементов а_ij алгебраическими дополнениями которых они являются, тогда

Докажем, что построенная матрица А^-1 является обратной к А. Для этого необходимо показать, что АА^-1 = Е.

.

Элементы транспонированной матрицы Из теоремы о чужих дополнениях следует, что еслиi  j, то

Получили диагональную матрицу с равными элементами по главной диагонали, а это скалярная матрица, поэтому

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы Покажем сначала, что данная матрица имеет обратную.Так как

D(A)  , то данная матрица имеет обратную. Вычислим алгебраические дополнения:

Таким образом,

Осуществим проверку

Упражнения

1. Решить уравнения

2. Лежат ли точки А(1,1,2), В(–2,1,2), С(3,0,2), Д(2,2,1) в одной плоскости.

3. Доказать, что прибавление к элементам какого-либо столбца опре-

делителя соответствующих элементов другого столбца этого же определителя, умноженных на одно и тоже число не равное нулю, величину определителя не изменяет.

4. Образуют ли вектора базис векторного пространстваR³, если да, то определить координаты вектора (1,2,3) в этом базисе.

5. Даны векторы: Найти их векторное произведение, угол между ними и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

6. Вычислить объем V_p параллелепипеда, построенного на векторах:

7. Определить ранг матрицы

8. Является ли матрица обратимой? Если, да, то определить обратную ей матрицу.

Глава 7 системы линейных уравнений

§1. Определения. Совместные и несовместные системы

Линейной системой к уравнений с n неизвестными х₁, х₂, . . . , х_n, называется совокупность равенств

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + . . . +а_1nх_n = в₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + . . . +а_2nх_n = в₂, (7.1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

а_к1х₁ + а_к2х₂ + . . . +а_кnх_n = в_к.

Коэффициенты а_ij и свободные члены в_i, i = 1,2,..., к, j = 1,2,..., n – известны и принадлежат полю R действительных чисел или полю С комплексных чисел. В дальнейшем под этим полем мы будем понимать поле R действительных чисел.

Решить систему (7.1) означает определить упорядоченную совокупность чисел λ₁, λ₂, . . ., λ_n из R (или С) такую, что при замене х₁,х₂ ,. . . .,х_n соответственно на λ₁, λ₂, . . ., λ_n, каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Упорядоченная совокупность чисел λ₁, λ₂, . . ., λ_n, называется решением системы (7.1).

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и, несовместной, если не имеет решений.

Если две совместные системы имеют одинаковые решения, то такие системы называются равносильными (или эквивалентными).

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если этих решений множество.

Ответы на эти вопросы дает метод Гаусса.