§1. Кольцо многочленов

Введем на множестве многочленом Р[x] два внутренних закона композиции – сложение и умножение многочленов, дистрибутивный относительно сложения многочленов.

Сложение. Суммой двух многочленов f(x) и g(x) называется многочлен

h(x)=y_tx^t+....+ y₁x + y₀, где y_i = _i _i i = 0, 1, 2,…,t,

степень многочлена t равна наибольшей из двух степеней, если эти степени не равны; если же они равны, то может случиться, что степень окажется меньше (при m = k, _k = – _k) и, следовательно, всегда имеем

Сm h(x)  max [Cm f(x), Cm g(x)].

Ясно, что операция сложения ассоциативна и коммутативна.

Имеется нейтральный элемент, а именно многочлен, обозначаемый 0 = 0 х^к + . . . + 0 х, все коэффициенты которого нули.

Наконец всякий многочлен обладает симметричным, обозначаемым

– f(x) = – _кх^к –  _к-₁х ^к-¹– . . . – ₁х₁ – ₀; это многочлен, все коэффициенты которого противоположны коэффициентам многочлена f(x).

Следовательно, наделенное этим законом множество многочленов составляет абелеву (коммутативную) группу.

Умножение. В силу дистрибутивности умножения относительно сложения достаточно определить его для многочленов вида _iхⁱ. Для _i , _j  положим

(_iхⁱ)(_jх^j) = _i _j x^i+j (3.3)

Иными словами, мы перемножаем переменные, как если бы их индексы были показателями степеней. Если

f (x) = ₀ + ₁х + . . . + _кх^к, g(х) = ₀ + ₁ + . . . + _mх^m,

то в силу дистрибутивности,

f(x)·g(x) = ₀₀ + (₀₁ + ₁₀) х + . . . + (₀_i + ₁_i-₁ + . . . + _i₀) хⁱ + . . .+

+ _к_m х^к+m.

Эта операция коммутативна и дистрибутивна относительно сложения. При помощи довольно длинного, но не сложного вычисления убеждаемся в том, что она ассоциативна.

Отметим следующее важное свойство:

Сm[f(x)·g(x)] = Cm f(x) + Cm g(x). (3.4)

Таким образом, множество P[x] есть коммутативное кольцо. Многочлен u(x) = _ _x + . . .  _tx^t есть нейтральный элемент относительно умножения, если u(x)·f(x) = f(x) для любого многочлена f(x). В частности, должно выполняться u(x)·x^k= x^k, и, значит,

_x^k+ ₁x^k⁺¹+. . . +_tx^k⁺^t= x^k,

что дает нам _  _ _ . . .  _t= 0. Стало быть, u(x) = x⁰ = 1; это дает право отождествить многочлен x⁰с числом 1.

Многочлен f(x) относительно умножения не имеет симметричного ему многочлена.

Следствие. Равенство f(x)·g(x) = f(x)· (x) при f(x)   влечет g(x) =  (x) Действительно, равенство записывается также в виде

f(x) g(x)   (x)   но f(x)   значит, g(x)   (x)   и g(x =  (x).

§2. Деление многочленов по убывающим степеням

Если заданы два многочлена f(x) и g(x), то не всегда может найтись такой многочлен h(x), что f(x) = g(x) h(x). Если же h(x) существует, то будем говорить, что f(x) делится на g(x) или что g(x) делит f(x), а также, что многочлен f(x) кратен g(x). Так, многочлен 0 кратен любому многочлену: 0 = g(x) · 0.

Теорема (о делении многочлена с остатком). Пусть имеются два многочлена f(x) и g(x) из кольца Р[х]. Существуют такие единственные многочлены h(x) и r(x), что f(x) = g(x) h(x) + r(x), где Сm r(x) < Сm g(x). h(x) называется частным, а r(x)  остатком от деления f(x) на g(x).

Замечание. Если Сm g(x) > Сm f(x), то h(x) = 0, а r(x) = f(x). Поэтому h(x)  0, когда Сm g(x)  Сm f(x).

Доказательство теоремы опускаем.

Следствие. Для того чтобы многочлен f(x) делился на многочлен g(x), необходимо и достаточно, чтобы остаток от деления f(x) на g(x) был равен нулю.

Практическое вычисление.

Расположение операций такое же, как при делении целых чисел, причем многочлены записываются в порядке убывания степеней переменного. Поэтому такое деление и называется делением по убывающим степеням.

Пример. f (x) = 5х⁶ + 1, g(x) = х² + 2х + 1.