4.2. Линейная зависимость и независимость векторов

Определение 1. Система векторов из К (где m – конечно), называется линейно зависимой, а вектора линейно зависимыми, если в поле Р найдется хотя бы одна совокупность _ _   , _m, таких чисел, не все из которых равны нулю, что (4.7)

Определение 2. Система векторов , называетсялинейно независимой, а вектора линейно независимыми, если линейная комбинация из этих векторов равна нуль векторутолько в том случае, когда.

Замечание. Один вектор линейно независим, если, и напротив, вектор– линейно зависим.

Придадим наглядности линейной зависимости и независимости векторов. Рассмотрим систему из свободных векторов.

Теорема 1. Для того чтобы два свободных вектораи были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Доказательство. Необходимость . Векторы и линейно зависимы. Следовательно , где_ и _ не равны нулю одновременно. Пусть, например, _  , тогда ; отсюда следует, что и коллинеарны.

Достаточность. Векторы и коллинеарны. Следовательно , отсюда, но так как_ = 1  0, значит векторы и линейно зависимы.

Замечание. Если два вектора линейно независимы, то они не коллинеарны и наоборот.

Теорема 2. Для того чтобы три свободных вектора ,и были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Доказательство этой теоремы см. книга 2, гл.4, §3, п.3.2.

Замечание. Если три вектора линейно независимы, то они не компланарны. Справедливо и обратное утверждение.

4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах

Теорема 1. Если система векторов линейно зависима, то после присоединения к ней любого числа новых векторов изК, снова получается линейно зависимая система.

Доказательство. Это следует из равенства

,

в котором среди есть отличные от нуля, а всеравны нулю.

Пусть задана система векторов, изК. Любую часть этой системы векторов назовем ее подсистемой. Тогда теорему 1 можно сформулировать в следующем виде.

Если какая-либо подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и сама система линейно зависима.

Для системы линейно независимых векторов справедливо следующее утверждение.

Если система состоит из линейно независимых векторов, то любая ее подсистема также состоит из линейно независимых векторов.

Следствия.

а) Если в совокупности имеется вектор, то совокупностьлинейно зависима; это эквивалентно утверждению, что если совокупность линейно независима, то каждый вектор .

б) Если в некоторой совокупности имеются два пропорциональных вектора, например, где, то совокупность линейно зависима, ибо таковой является частичная совокупность ; действительно,

и .

Теорема 2. Система векторов из К будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть – линейно зависимая система векторов. Тогда найдется набор чисел , которые не все равны нулю, и такой, что. Предположим для определенности, что, тогда

или

, где , j = 1,2,....,m, и j  i.

Достаточность.

–линейная комбинация. Умножим это равенство на (–1) и вычтем из обеих частей вектор (–1), получим

.

Для коэффициентов имеем нетривиальную комбинацию , следовательно, система линейно зависима.