Глава 2 комплексные числа

Рассмотрим уравнение х² + 1 = 0. Очевидно, что ни одно действительное число хR не является решением этого уравнения. Построим такое поле С, содержащее R в качестве подполя (R  С), на котором бы данное уравнение было разрешимо. Этим полем является поле комплексных чисел.

§1. Поле с комплексных чисел

Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара (а,в) двух действительных чисел, аR и в R. Следовательно, z = (а,в) является элементом произведения R×R или точкой арифметического пространства R².

Определим на множестве R×R два внутренних закона – сложение и умножение – при помощи следующих правил:

z₁ + z₂ = (а₁,в₁ ) + (а₂,в₂ ) = (а₁ + а₂, в₁ + в₂)

z₁ · z₂ = (а₁,в₁)· (а₂,в₂) = (а₁а₂ – в₁в₂, а₁в₂ + а₂в₁). (2.1)

Для того чтобы z₁ = z₂, необходимо и достаточно, чтобы а₁ = а₂ и в₁ = в₂.

Покажем теперь, что множество комплексных чисел, на котором заданы эти две операции, является полем С.

Сложение на множестве С:

1. ассоциативно: z₁ + (z₂ + z₃) = (z₁ + z₂)+ z₃;

2. коммутативно: z₁ + z₂ = z₂ +z₁;

3. обладает нейтральным элементом е = (0,0);

4. обратимо, т.е. каждое комплексное число (а,в) имеет симметричный элемент (–а,–в)

(а,в) + (–а,–в) = (0,0) = е .

Следовательно, для сложения множество С является абелевой группой.

Умножение на множестве С:

1. 1. ассоциативно z₁·(z₂·z₃) = (z₁ ·z₂ )·z₃;

2. коммутативно z₁ · z₂ = z₂ · z₁;

2. 3. обладает нейтральным элементом е = (1,0)

(а,в) · (1,0) = (а ·1 – в·0, а·0 +1·в) = (а,в);

3. 4. без нейтрального элемента е = (0,0) для сложения – обратимо

Таким образом, множество С без е = (0,0) для операции умножения является абелевой группой.

Умножение дистрибутивно относительно сложения

[(a₁,b₁) + (a₂,b₂)] · (a₃,b₃) = (a₁,b₁) · (a₃,b₃) + (a₂,b₂) · (a₃,b₃).

Итак, все условия выполнены, и множество комплексных чисел составляет поле С.

Докажем, что построенное поле удовлетворяет поставленным требованиям.

1. Обозначим через D множество пар вида (a,0), где aR а D  C. Выясним, как действуют операции (2.1), определенные на C, на множестве D.

(a₁,0) + (a₂,0) = (a₁ + a₂, 0),

(a₁,0) · (a₂,0) = (a₁·a₂ – 0·0, a₁·0 + a₂·0) = (a₁·a₂, 0).

Следовательно, если каждому числу aR поставить в соответствие (a,0)D, то множество D комплексных чисел вида (a,0) изоморфно относительно сложения и умножения соответствующих чисел a из R. Поэтому множества D и R можно отождествить. Таким образом, первое условие выполнено: R  C.

2. В поле R уравнение x² + 1 = 0 решения не имеет. Ищем решение этого уравнения в поле С. В нем вещественное число 1      x  (u,v), и уравнение принимает вид

(u,v)² + (1,0) = (0,0).

Выполнив в левой части уравнения операции умножения (u,v) · (u,v) и сложения с , получим

(u² – v² +1, 2uv) = (0,0).

По определению равенства пар имеем u² – v² +1 = 0 и 2uv = 0. Отсюда u = 0 (либо v = 0) и v = ±1 (либо u² = –1, решения не имеет). Следовательно, получаем два решения

х₁ = (0,1) и х₂ = (0,–1).

Пары являющиеся решениями уравнения х² + 1 = 0, обозначают (0,1) = i, а (0,–1) = – i, и i называют мнимой единицей.

В этом случае любое комплексное число может быть записано в виде

z = (а,в) = (а,0) + (0,в) = а + (0,1)(в,0) = а + iв, (2.2)

где а и в – действительные числа, а i² = (–i)² = –1. Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Число а называется действительной, а в – мнимой частью числа z. Обозначают а = Re z, в = Im z. Если а = 0, то число 0 + iв = iв называется мнимым.

Следовательно, при всяком действии сложения и умножения можно заменять комплексные числа z суммой а + iв и производить операции как с действительными числами; достаточно заменять i² на –1 всякий раз, как i будет появляться со степенью, не меньшей 2, например, i³ = i² · i = – i, i⁴ = 1, i⁵ = i и т.д.

Пример. (а + iв)³ = а³ + 3а²iв +3а (iв)² + (iв)³ = а³ + i 3а²в – 3ав² – iв³ =

= (а³ –3ав²)+ i (3a²в – в³).