- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения
§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
Пусть К – векторное пространство конечной размерности n над полем Р. И пусть – базис этого пространства. Рассмотрим векторное пространство ; являющееся произведением n векторных пространств Р над полем Р. Поставим в соответствие вектору изК вектор изРn. Это отображение есть взаимно однозначное отображение, так как разложение вектора по базису, возможно только единственным способом. Пусть далеепричем. Поставим в соответствие вектору, векторизРn. Так как
,
то ясно, что вектору соответствует векторизРn, следовательно
Далее, так как , то векторсоответствует векторуизРn, следовательно, f () =Таким образом (см. книга 2, гл.1, §3), можно сделать следующее заключение.
Векторное пространство К конечной размерности n над полем Р изоморфно Рn. Изоморфизм между К и Рn зависит от выбранного в К базиса, и изоморфными могут быть пространства только одинаковой размерности.
Образами векторов базиса вРn будут или, где, еслиi j, и , еслиi = j; величиныназываютсясимволами Кронекера. Действительно, так как
, то , гдеi = 1,2,...n.
Из предыдущего также вытекает, что для того, чтобы вектора изК были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладали вектора изРn, соответствующие им при вышеуказанном изоморфизме. В частности покажем, что вектора , есть базис пространстваРn, называемый каноническим.
Доказательство.
1. Докажем, что векторы линейно независимы. Для этого надо доказать, что векторное уравнениеимеет только тривиальное решение. Данное уравнение равносильно системе скалярных уравнений n которое имеет единственное решение = n = 0.
2. Легко видеть, что любой вектор изPn есть линейная комбинация векторов с коэффициентами
: . Следовательно, системаявляется базисомPn.
Таким образом, значение теоремы об изоморфизме состоит в следующем. Векторные пространства могут состоять из чего угодно – столбцов, многочленов, физических величин: скорости, силы, напряженности электрического поля и др. – природа их элементов роли не играет, когда изучаются только их свойства, связанные с операциями сложения и умножения на число. Все эти свойства у изоморфных пространств совершенно одинаковы. С алгебраической точки зрения изоморфные пространства тождественны. Если мы условимся не различать между собой изоморфные пространства, то в силу теоремы об изоморфизме для каждой размерности найдется только одно векторное пространство и, этим пространством может служить пространство Pn.
§7. ВЕКТОР–ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО; ОТОБРАЖЕНИЯ R В Rn
Вектор-функции одного действительного переменного ставят в соответствие действительному числу элемент векторного пространства. Пусть этим пространством будет векторное пространство Rn над полем R.
Определение. Пусть P – некоторое числовое множество из R и пусть каждому числу t поставлен в соответствие элемент (вектор) из Rn. В этом случае говорят, что определена функция действительного переменного t с векторными значениями в Rn или, короче, вектор-функция от t.
Вектор-функцию обозначают через (либо жирной строчной латинской буквой), а ее значение дляt – через ;есть элемент векторного пространстваRn. Выражение «вектор-функция от t со значениями в Rn» имеет тот же смысл, что и следующие выражения: вектор-функция, определенная на Р, или отображение Р в Rn.
Обозначим через элементы канонического базиса пространстваRn. Если – вектор-функция, определенная наР и принимающая значения в Rn, то есть элемент изRn и, значит, представляет собой множество n действительных чисел, значение которых зависит от t и которые мы обозначим через ; это будут координаты, или компоненты векторапо каноническому базису. Таким образом,
(). Следовательно, для любогоt определены n числовых функций 1, 2,...,n одного действительного переменного и, стало быть, является упорядоченным множествомn числовых функций 1,2,...,n одного действительного переменного, которые определены на множестве Р. Функции i называются координатными функциями.
Допустим теперь, что для – отображение множестваР из R в Rn – существует обратное отображение ; это означает, что для любого вектора, являющегося значением функции, множество тех чиселt, для которых , сводится к одному числу. Тогда; будет числовой функциейn действительных переменных (книга 1, гл.3, §3 ).
Отметим, что комплексные функции одного действительного переменного рассмотренные нами в книге 2, гл.2 §6, п.6.1, могут быть представлены как векторные функции одного действительного переменного, или как отображение R в R2, поскольку С, как векторное пространство отождествляется с R2.
В заключение рассмотрим вектор-функцию одного действительного переменного t , значением которой есть радиус-вектор точкиМ в геометрическом пространстве. Как было уже сказано (гл.4, §3, п.3.3) – это вектор, начало которого совпадает с началом координатО, а концом является некоторая точка М геометрического пространства. Координаты вектора в ортонормированном базисеи координаты точкиМ в декартовой прямоугольной системе координат совпадают, т.е., если М(x,y,z), то . Пусть координаты вектора , а, следовательно, и точкиМ, суть функции некоторого параметра t, с областью изменения
Тогда представляет собой вектор-функцию одного действительного переменногоt или отображение Р в R3. При изменении t изменяются x, y, z, и точка М – конец вектора – опишет в пространстве некоторую линию, которую называютгодографом вектора =(t), и которую можно рассматривать как график вектор-функции (t).
Таким образом, вектор функция одного действительного переменного со значениями в R3 графически изображается линией в геометрическом пространстве.