- •Линейная алгебра глава 1 законы композиции
- •§1. Внутренние законы композиции
- •1.2. Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля
- •§2. Внешние законы композиции
- •§3. Изоморфизм
- •Глава 2 комплексные числа
- •§1. Поле с комплексных чисел
- •§2. Комплексно сопряженные числа
- •§3. Модуль комплексного числа. Деление двух комплексных чисел
- •§4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •§5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула муавра. Извлечение корня
- •§6. Комплексные функции
- •Комплексные функции одного действительного переменного
- •Показательная функция zеz с комплексным показателем и ее свойства
- •Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа
- •Глава 3 многочлены
- •§1. Кольцо многочленов
- •§2. Деление многочленов по убывающим степеням
- •§3. Взаимно простые и неприводимые многочлены. Теорема и алгоритм евклида
- •§4. Нули (корни) многочлена. Кратность нуля. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов над полем с и r
- •Упражнения
- •Глава 4 векторные пространства
- •§1. Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов
- •§2. Векторные пространства р n над полем р
- •§3. Векторы в геометрическом пространстве
- •3.1. Типы векторов в геометрическом пространстве
- •Из подобия треугольников авс и ав'с' следует (как в случае , так и в случае ), что.
- •3.3. Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного пространства r3
- •3.4. Скалярное произведение двух свободных векторов
- •Упражнения
- •§4. Векторное подпространство
- •4.1. Подпространство, порожденное линейной комбинацией векторов
- •4.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.3. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах
- •4.4. База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов
- •4.5. Базис и размерность подпространства, порожденного системой
- •§5. Базис и размерность векторного пространства
- •5.1. Построение базиса
- •5.2. Основные свойства базиса
- •5.3. Базис и размерность пространства свободных векторов
- •§6. Изоморфизм между n – мерными векторными пространствами к и р n над полем р
- •§8. Линейные отображения векторных пространств
- •8.1. Ранг линейного отображения
- •8.2. Координатная запись линейных отображений
- •Упражнения
- •Глава 5 матрицы
- •§1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц
- •§2. Алгебраичесие операции над матрицами.
- •Пусть даны матрицы
- •§3. Изоморфизм между векторным пространством
- •§4. Скалярное произведение двух векторов из пространства Rn
- •§5. Квадратные матрицы
- •5.1. Обратная матрица
- •5.2. Транспонированная квадратная матрица.
- •Упражнения
- •Глава 6 определители
- •§1. Определение и свойства определителя, вытекающие из определения
- •§2. Разложение определителя по элементам столбца (строки). Теорема о чужих дополнениях
- •§3. Геометрическое представление определителя
- •3.1. Векторное произведение двух свободных векторов
- •3.2. Смешанное произведение трех свободных векторов
- •§4. Применение определителей для нахождения ранга матриц
- •§5. Построение обратной матрицы
- •Упражнения
- •Глава 7 системы линейных уравнений
- •§1. Определения. Совместные и несовместные системы
- •§2. Метод гаусса
- •§3. Матричная и векторная формы записи линейных
- •3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицыk 1.
- •§4. Система крамера
- •§5. Однородная система линейных уравнений
- •§6. Неоднородная система линейных уравнений
- •Упражнения
- •Глава 8 приведение матриц
- •§1. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •1.1. Матрица перехода, связанная с преобразованием
- •1.2. Ортогональные матрицы перехода
- •§2. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
- •2.1. Собственные значения, собственные векторы
- •2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональной форме
- •§3. Вещественные линейные и квадратичные формы
- •3.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •3.2. Определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра
- •Упражнения
§5. Однородная система линейных уравнений
Система линейных уравнений называется однородной, если правые части этих уравнений равны нулю:
a1x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0,
a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0,
...................................... (7.8)
ak1x1 + ak2 x2 + .... + akn xn = 0.
Однородная система всегда совместна, так как расширенная матрица отличается от основной на столбец, представляющий нуль-вектор. Поскольку система, содержащая нуль-вектор, всегда линейно зависима, то ранг расширенной матрицы совпадает с рангом основной матрицы. Совместность однородной системы очевидна, так как она всегда имеет тривиальное решение х1 = х2 =.....= хп = 0. Это решение будет единственным, если однородная система есть система Крамера, т.е. когда k = n и определитель D(A) основной матрицы A отличен от нуля. Другими словами, когда ранг r(A) основной матрицы равен числу n неизвестных системы: r(A) = n. Если же r(A) < n, то однородная система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений и совокупность решений системы образует векторное подпространство. Покажем это. Для этого запишем систему (7.8) в векторной форме в пространстве Rn вектор-строк. В этом случае каждое уравнение системы представляет собой скалярное произведение двух векторов из Rn: и :
(7.9)
Докажем, что если вектора иесть решения системы (7.9), тоитакже будут решениями этой системы. Действительно, так как скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов и ассоциативно относительно умножения на число, имеем:
Отсюда следует, что иявляются также решениями однородной системы. Кроме этого, нейтральный (0,0,....,0) и симметричныйэлементы также принадлежат пространству решений. Таким образом, совокупность решений однородной системы образует векторное подпространство. Теперь определим размерность подпространства решений системы и построим его базис. Как мы уже сказали, подпространство решений содержит ненулевые вектора, еслиr(A) < n. Условие r(A) < n всегда выполнено, если число k уравнений системы меньше числа n неизвестных. Тот факт, что ранг основной матрицы A равен r(A), означает, что матрица A содержит минор порядка r, отличный от нуля; все же миноры более высоких порядков равны нулю, в том числе (если он существует) и минор порядка n. Не ограничивая общности, можно считать, что этим минором является главный минор матрицы A порядка r.
.
Это всегда можно добиться, переставляя местами уравнения в системе. Тогда остальные к – r уравнений системы являются линейными комбинациями первых r уравнений системы и поэтому, не нарушая равносильности системы, эти уравнения из системы можно исключить. Оставшиеся же r уравнений системы запишем в следующем виде
(7.10)
Заметим, что если неизвестным xr+1, . . ., хn в системе (7.10) придать какие либо числовые значения, то получим систему Крамера, так как и, следовательно, остальные неизвестныех1, х2, . . ., хr можно определить однозначно по правилу Крамера (7.7). Определим неизвестные х1, х2, . . ., хr придавая для неизвестных хr+1, хr+2, . . ., хn последовательно следующие значения (1,0,...,0), (0,1,0,...,0),. . . , (0,0,. . . , 1). Такой выбор обусловлен тем, что каждый набор из n – r чисел есть вектор канонического базиса пространства Rn-r. Положим, что для каждого указанного набора значений хr+1, хr+2, . . ., хn для х1, х2, . . ., хr получены соответственно следующие n – r наборов из r чисел . . .Ясно, что векторы
(7.11)
являются решениями системы (7.10). Число координат у векторов равноn и они принадлежат пространству Rn.
Докажем, что векторы линейно независимы. Действительно, если равенствозаписать в скалярной форме
,
используя компоненты (7.11), то оно выполняется лишь при условии n-r = 0. Это непосредственно вытекает из уравнений, для которых j r + 1. Нетрудно показать также то, что любое решение однородной системы (7.10) является линейной комбинацией векторовс коэффициентамит.е.
, (7.12)
где могут принимать любые значения изR. Для доказательства этого при решении системы (7.10) для неизвестных xr+1,...,xn полагаем значения (r+1, 0,..., 0), (0, r+2, 0,…,0),.....,(0,0,...,n).
Таким образом, векторы с компонентами (7.11) образуют базис подпространства решений однородной системы (7.8) размерностиn – r. Выражение (7.12), определяющее все множество решений подпространства, называется общими решениями однородной системы. Совокупность линейно независимых решений системы называетсяфундаментальной системой решений. Переменные xr+1,...,xn называются свободными, x1,...,xr – базисными.
Замечание. Построение фундаментальных решений, проведенное нами выше, не является обязательным и при решении конкретных задач выбор значений xr+1,...,xn может быть другим.
Пример. Пусть дана однородная система уравнений
x1 + 2x2 – 5x3 + 3x4 = 0,
2x1 + 5x2 – 6x3 – x4 = 0,
5x1 + 12x2 – 17x3 + x4 = 0,
в которой число неизвестных n = 4, а число уравнений к = 3. Поскольку к n то r(A) n и, следовательно, система имеет бесчисленное множество решений. Для построения фундаментальных и общего решений системы определим ранг r(A) основной матрицы
Рассмотрим главные миноры: Для матрицыА существует еще один минор третьего порядка но он также равен нулю. Таким образом, все миноры третьего порядка матрицыА, равны нулю, а среди миноров второго порядка есть минор отличный от нуля. Следовательно, ранг r(A) матрицы А равен 2. Это означает также, что третье уравнение системы есть линейная комбинация первых двух и его из системы можно исключить. Действительно, третье уравнение получается, если второе уравнение умножить на 2 и сложить с первым. После исключения из системы третьего уравнения, оставшиеся два уравнения, перепишем в следующем виде
х1 + 2х2 = 5х3 – 3х4,
2х1 + 5х2 = 6х3 + х4.
Полагая х3 = 1, а х4 = 0, получим фундаментальное решение системы
х1 + 2х2 = 5,
2х1 + 5х2 = 6 х1 = 13, х2 = – 4, = (13, – 4, 1, 0).
Полагая х3 = 0, а х4 = 1, определим
х1 + 2х2 = –3,
2х1 + 5х2 = 1 х1 = –17, х2 = 7, = (–17, 7, 0, 1).
Общее решение системы
где любые числа изR.
Итак, решения системы составляют векторное подпространство размерности n – r = 4 – 2 = 2.